Grenzwert

27.07.2004, 14:19

Mathestudent

Grenzwert

Hi Leute,

hat irgendjemand von euch eine Idee wie ich den Grenzwert von dieser Folge bestimmen kann?
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}(\frac{tanx}{x})^{\frac{3}{x^2}} \end{eqnarray*}$
Laut Maple soll dort die Exponentialfunktion als Lösung rauskommen und ich habe mir auch schon überlegt die Aufgabe über die Reihenent-wicklung des Sinus und des Cosinus zu machen bin dabei aber nicht besonders weit gekommen. Aus diesem Grund fänd ich es sehr nett von euch wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank

Mathestudent :P

27.07.2004, 14:34

liddlpit

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RE: Grenzwert
Schreibe die Potenz mit der exp-function, also
$\begin{eqnarray*} \exp (\frac 3 {x^2} \ln (\frac {\tan x} x)) \end{eqnarray*}$
und dann musst du nur noch den Exponenten entwickeln - der geht wie $\begin{eqnarray*} 1+\frac {7 x^2} {30} \end{eqnarray*}$ . Der Rest sollte dann kein Problem mehr sein.

27.07.2004, 15:14

Mathestudent

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RE: Grenzwert
Hi liddlpit,

Vielen Dank für deine schnelle Antwort, aber kann ich die Aufgabe nicht auch auf dem folgenden Weg lösen?
Denn wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dann kann ich das folgendermaßen lösen:
$\begin{eqnarray*} exp(\frac{3}{x^2})*ln(\frac{tanx}{x}) \end{eqnarray*}$
Jetzt die Exponentialfunktion in die Klammer reinmultiplizieren. Das ergibt:
$\begin{eqnarray*} exp(\frac{3}{x^2})*exp(ln(\frac{tanx}{x})) \end{eqnarray*}$
Jetzt den Grenzübergang vollziehen:
$\begin{eqnarray*} exp(\frac{3}{x^2})*exp(0) \end{eqnarray*}$ , weil
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{tanx}{x})=ln(1)=0 \end{eqnarray*}$
und daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} exp(1+\frac{7*0^2}{30})*1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} exp(1+0)*1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} exp(1) \end{eqnarray*}$
und dann steht das Ergebnis fest.
Ist das jetzt richtig?
Vielen Dank

Mathestudent

27.07.2004, 22:19

Bruce

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Hi ihr Rechenkünstler,

eure Potenzreihenentwicklung konnte ich nicht nachvollziehen.
Ich habe mir eine Alternative überlegt.

Im Teubner-Taschenbuch der Mathematik (alias Bronstein) finde ich unter Reihen- und Produktformeln:
$\begin{eqnarray*} \tan x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}\dots. \end{eqnarray*}$

Für den gesuchten Grenzwert g kann man also schreiben:
$\begin{eqnarray*} g=\lim_{x\to 0}(\frac{\tan x}{x})^{\frac{3}{x^2}} = \lim_{x\to 0} (1+\frac{x^2}{3}+O(x^4))^{\frac{3}{x^2}} \end{eqnarray*}$

Setze hier
$\begin{eqnarray*} y = \frac{3}{x^2}. \end{eqnarray*}$

Damit gilt:
$\begin{eqnarray*} g = \lim_{y\to \infty} (1+\frac{1}{y}+O(\frac{1}{y^2}))^y \end{eqnarray*}$

Ersetze y durch n und berechne:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^2}))^n = \lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n}(1+O(\frac{1}{n})))^n \end{eqnarray*}$

Eine Definition der Exponentialfunktion lautet:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} (1+\frac{x}{n})^n = e^x. \end{eqnarray*}$

Damit folgt
$\begin{eqnarray*} g = \lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n}(1+O(\frac{1}{n})))^n = e \end{eqnarray*}$

Also gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}(\frac{\tan x}{x})^{\frac{3}{x^2}} = e \end{eqnarray*}$

War das verständlich verwirrt

?

Gruß von Bruce!

27.07.2004, 22:27

Trazom

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Warum so kompliziert über Reihenentwicklung? Nach der Darstellung als e-Funktion kann man doch den Exponenten mit L'Hospital bearbeiten. Ich erklärs gern, wenn jemand nicht weiß wie das geht.

27.07.2004, 22:49

Bruce

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O.K. Trazom,

dann schieß mal los, ich lerne gern dazu.

27.07.2004, 23:05

Trazom

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RE: Grenzwert
Wir haben hier den Term
$\begin{eqnarray*} \exp (\frac 3 {x^2} \ln (\frac {\tan x} x)) \end{eqnarray*}$
.

Da die e-Funktion monoton ist, reicht es, den Exponenten allein zu betrachen, und zwar am besten als Bruch von zwei Funktionen, also:

$\begin{eqnarray*} \frac {3\ln (\frac {\tan (x)} x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Theorie:

Hat man einen Bruch von Funktionen

$\begin{eqnarray*} \frac {f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$

und ergibt die Grenzwertbildung einen unbestimmten Ausdruck, also z.B. $\begin{eqnarray*} \frac {0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac {\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ , dann darf man Zähler und Nenner getrennt ableiten und der Grenzwert bleibt gleich.

Folglich gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac {f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

Hat man danach immer noch keinen Grenzwert, macht man genauso weiter. Sorry, ich hab jetzt keinen Bock auf das Beispiel hier, da muss man das ja sogar verschachtelt machen. Einfach Übungen wären zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac {e^x}{x^{35}} \end{eqnarray*}$

Viel Spaß...

27.07.2004, 23:41

mathemaduenn

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RE: Grenzwert
Hallo

Zitat:

Original von Trazom
Da die e-Funktion monoton ist, reicht es, den Exponenten allein zu betrachen, und zwar am besten als Bruch von zwei Funktionen, also:

Hierfür reicht imho die Stetigkeit der e-Funktion.
gruß
mathemaduenn

27.07.2004, 23:46

Trazom

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von mathemaduenn
Hallo

Zitat:

Original von Trazom
Da die e-Funktion monoton ist, reicht es, den Exponenten allein zu betrachen, und zwar am besten als Bruch von zwei Funktionen, also:

Hierfür reicht imho die Stetigkeit der e-Funktion.
gruß
mathemaduenn

Solltest Du Recht haben, hat mir mein Dozent Blödsinn erzählt, muss mal nachfragen...

28.07.2004, 00:04

mathemaduenn

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Hallo Trazom,
könnte es sein das dein Dozent
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} f(x) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -0} f(x) \end{eqnarray*}$
sprich links und rechtsseitige Grenzwerte behandelt hat .
gruß
mathemaduenn
Edit : Dies war nur eine Idee, die zu nichts führte siehe unten.

28.07.2004, 00:08

Trazom

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Nein nein, als wir Grenzwerte hatten, gabs mal einen Ausdruck komplett unter einer Wurzel, und er sagte, weil die Wurzel monoton wachsend ist, darf man den Radikanten allein betrachen.

Eigentlich hat er ja auch Recht, nur war wohl seine Erläuterung nicht vollständig...

28.07.2004, 00:29

Bruce

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Halli Hallo, da bin ich noch mal.

Ich habe noch was einfacheres als meine Herleitung weiter oben anzubieten Idee!

:

Es gelten die Reihenentwicklungen:
$\begin{eqnarray*} \tan x = x+\frac{x^3}{3}+\dots \quad\mathrm{und}\quad \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\dots. \end{eqnarray*}$

Damit folgt für kleine x:
$\begin{eqnarray*} \ln\frac{\tan x}{x} \approx \ln(1+\frac{x^2}{3}) \approx \frac{x^2}{3} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt schließlich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} (\frac{\tan x}{x})^{\frac{3}{x^2}} = \lim_{x\to 0} \exp(\frac{3}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}) = \mathrm{e}. \end{eqnarray*}$

Da hatte ich wohl zunächst Tomaten auf den Augen!

P.S.

In manchen Fällen gilt: L'Hospital = Teufel

28.07.2004, 01:11

mathemaduenn

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Hallo Trazom,
wollte nur noch eine kurze Begründung geben
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} f(g(x)) \end{eqnarray*}$
ist g(b) nicht definiert aber
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} g(x) =c \end{eqnarray*}$
co ist g(x) durch g(b)=c stetig fortsetzbar und bei stetigen f die Funktion f(g(x)) in b stetig daraus folgt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} f(g(x))=f(c) \end{eqnarray*}$
gruß
mathemaduenn

Edit Die Behauptung dies folge aus der Monotonie ist Falsch. Monotone Funktionen müssen ja nicht stetig sein.
Edit: Ich wollte noch ein nachvollziehbares Bsp. bringen.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x+\frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$ für x ungleich 0
und f(0)=0
ist monoton Wachsend sogar streng monoton trotzdem existiert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ nicht.

28.07.2004, 17:23

Trazom

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is klar, danke

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