Beweis Differentialgleichung

19.04.2013, 23:39

Beweismietze-niete

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Beweis Differentialgleichung

Meine Frage:
Ahoj Matrosinnen und Matrosen, alle Wochen wieder kommt es zu einer Beweisaufgabe... und ich würde gerne mal eine lösen. Es geht um Differentialgleichungen konkret:

Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}: I \rightarrow \mathbb R^{2, 2} eine stetige Abbildung. Die Differentialgleichung [latex]y'=Ay \end{eqnarray*}$ besitze die spezielle Lösung $\begin{eqnarray*} \phi=\begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \end{pmatrix}: I \rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ . Im Teilintervall $\begin{eqnarray*} J \subset I \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} \phi_1 (x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (x) \neq J \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} Zeigen Sie, dass man durch den Ansatz \psi(x)=u(x)\begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine weitere von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Lösung $\begin{eqnarray*} \psi : J \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ erhält, wobei
$\begin{eqnarray*} u, g I:\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktionen mit $\begin{eqnarray*} g \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind, die den Differentialgleichungen $\begin{eqnarray*} g'=(a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g , u'=\frac{a_{12}}{\phi_1}g \end{eqnarray*}$ genügen.

Meine Ideen:
Ich hoffe Steffen Bühler muss meine Latexeingabe nicht korrigieren und kann sich ganz der Aufgabe widmen :P Big Laugh

Big Laugh

(Spaß bei Seite jetzt)

Ich habe erhebliche Schwierigkeiten wie ich ansetzen soll um die Aufgabe zu lösen. Was zu machen ist steht ja eigentlich, nur das Problem ist es irgendwie anzusetzen? Kann mir jemand bitte behilflich sein? Es liegt mir echt am Herzen, danke.

20.04.2013, 20:21

beweismietze-niete

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RE: Beweis Differentialgleichung
Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}: I \rightarrow \mathbb R^{2, 2} \end{eqnarray*}$ eine stetige Abbildung. Die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ besitze die spezielle Lösung $\begin{eqnarray*} \phi=\begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \end{pmatrix}: I \rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ . Im Teilintervall $\begin{eqnarray*} J \subset I \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} \phi_1 (x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (x) \neq J \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass man durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} \psi(x)=u(x)\begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine weitere von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Lösung $\begin{eqnarray*} \psi : J \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ erhält, wobei
$\begin{eqnarray*} u, g I:\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktionen mit $\begin{eqnarray*} g \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind, die den Differentialgleichungen $\begin{eqnarray*} g'=(a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g) , u'=\frac{a_{12}}{\phi_1}g \end{eqnarray*}$ genügen.

Hab nochmal die Aufgabenstellung korrigiert und hoffe doch sehr, dass mir jemand helfen mag traurig

traurig

21.04.2013, 01:54

student_t

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RE: Beweis Differentialgleichung
Du kannst erstmal dein $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ in die DGL einsetzen, das solltest du dann so aufteilen können, dass du zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist, falls u und g die entsprechenden DGLs erfüllen. Dann musst du nur noch lineare Unabhängigkeit zeigen, was eigentlich klar sein sollte.

Gruß

21.04.2013, 09:31

beweismietze-niete

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RE: Beweis Differentialgleichung
Ok. Ich versuche es mal und berichte gleich davon verwirrt

verwirrt

. Danke.

21.04.2013, 11:19

beweismietze-niete

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RE: Beweis Differentialgleichung

Zitat:

Original von student_t
Du kannst erstmal dein $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ in die DGL einsetzen, das solltest du dann so aufteilen können, dass du zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist, falls u und g die entsprechenden DGLs erfüllen. Dann musst du nur noch lineare Unabhängigkeit zeigen, was eigentlich klar sein sollte.

Ich soll das $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ in die DGL einsetzen und dann aufteilen. verwirrt

verwirrt

Ich weiß nicht wie, bzw. was genau was ist.

Wir haben einmal die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die DGL $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ besitze die spezielle Lösung $\begin{eqnarray*} \phi=\begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \end{pmatrix}: I \rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ . Im Teilintervall $\begin{eqnarray*} J \subset I \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} \phi_1 (x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (x) \neq J \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass man durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} \psi(x)=u(x)\begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine weitere von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Lösung $\begin{eqnarray*} \psi : J \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ erhält, wobei
$\begin{eqnarray*} u, g I:\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktionen mit $\begin{eqnarray*} g \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind, die den Differentialgleichungen $\begin{eqnarray*} g'=(a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g) , u'=\frac{a_{12}}{\phi_1}g \end{eqnarray*}$ genügen.

Ich bin ratlos unglücklich

unglücklich

Ich weiß einfach nicht wie ich das $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ einsetzen soll.
Unser $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} \psi(x)=u(x)\begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und wo soll man das einsetze?

21.04.2013, 18:54

Un-aachen

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RE: Beweis Differentialgleichung
kann sich niemand erbarmen zu helfen?
Hänge bei der selben Aufgabe unglücklich

unglücklich

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21.04.2013, 19:00

student_t

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RE: Beweis Differentialgleichung
Um zu zeigen, ob bzw. wann $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist, musst du es für y in die DGL y'=Ay einsetzen. Daraus bekommst du dann neue DGLs für u und g, die den genannten entsprechen sollten.

21.04.2013, 22:10

beweismietze-niete

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RE: Beweis Differentialgleichung
Ich weiß immer noch nicht was ich wo einsetzen soll. Kann mir das jemand illustrieren, dann kann ich vielleicht irgendwie handeln Freude

Freude

22.04.2013, 10:18

Un-aachen

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RE: Beweis Differentialgleichung
......Pardon. Je ne l'ai pas compris......
Kein Plan... ich hasse so Aufgaben..... wofür braucht man Beweise, rechnen können ist doch tausend mal wichtiger unglücklich

unglücklich

unglücklich

22.04.2013, 11:23

RavenOnJ

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Beginne erst mal damit, dass du $\begin{eqnarray*} \psi(x)=u(x)\begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ differenzierst. Wenn du dich fragst, wie man eine vektorwertige Funktion $\begin{eqnarray*} \psi(x) :=\begin{pmatrix}\psi_1(x)\\ \psi_2(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ differenziert:

$\begin{eqnarray*} [\psi(x)]'=\Big[\begin{pmatrix}\psi_1(x)\\ \psi_2(x) \end{pmatrix}\Big]' = \begin{pmatrix}\psi_1(x)'\\ \psi_2(x)' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt wendest du die Differentialgleichung an, setzt also $\begin{eqnarray*} \psi(x),\psi(x)' \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y,y' \end{eqnarray*}$ ein. Zur Vereinfachung berücksichtigst du, dass $\begin{eqnarray*} \phi(x) \end{eqnarray*}$ eine Lösung dieser DGl ist.

22.04.2013, 12:11

beweismietze-niete

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Beginne erst mal damit, dass du $\begin{eqnarray*} \psi(x)=u(x)\begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ differenzierst. Wenn du dich fragst, wie man eine vektorwertige Funktion $\begin{eqnarray*} \psi(x) :=\begin{pmatrix}\psi_1(x)\\ \psi_2(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ differenziert:

$\begin{eqnarray*} [\psi(x)]'=\Big[\begin{pmatrix}\psi_1(x)\\ \psi_2(x) \end{pmatrix}\Big]' = \begin{pmatrix}\psi_1(x)'\\ \psi_2(x)' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soll ich g' und u' also: $\begin{eqnarray*} g'=(a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g) , u'=\frac{a_{12}}{\phi_1}g \end{eqnarray*}$ aufleiten und dann da einsetzen für u(x) und g(x)?

Weil ich weiß das nicht was ich da ableiten sollte, das ist so abstrakt - ich sehe einfach nicht was ich machen soll... das bringt mich zur totalen Frustration. Noch paar Semester und ich muss mir eine Perrücke kaufe. Wenn ich das jetzt ableiten soll dann mache ich doch einfach nur die Ableitung dran also:

$\begin{eqnarray*} \psi'(x)=u'(x)\begin{pmatrix} \phi_1'(x) \\ \phi_2'(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g'(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine weitere von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

Weil es steht ja nicht explizit, was genau was ist. Das ist ja alles allgemein gehalten.

Zitat:

Original von RavenOnJ
Im nächsten Schritt wendest du die Differentialgleichung an, setzt also $\begin{eqnarray*} \psi(x),\psi(x)' \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y,y' \end{eqnarray*}$ ein. Zur Vereinfachung berücksichtigst du, dass $\begin{eqnarray*} \phi(x) \end{eqnarray*}$ eine Lösung dieser DGl ist.

Damit bin ich überfordert. traurig

traurig

22.04.2013, 12:29

RavenOnJ

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Du kennst nicht die Produktregel für das Ableiten einer Funktion, die Produkt von Funktionen ist? Die ist eine der absolut grundlegenden Beziehungen, um Ableitungen effizient berechnen zu können. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \text{mit }f(x)=g(x)h(x)\Rightarrow [f(x)]'=[g(x)h(x)]'=g(x)'h(x)+g(x)h(x)' \end{eqnarray*}$

oder ohne die Funktionsargumente

$\begin{eqnarray*} f=gh\Rightarrow f'=[gh]'=g'h+gh' \end{eqnarray*}$

Benutze diese Regel für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ .

Außerdem vermeide bitte den Begriff "aufleiten". Dies mag in manchen Schulen inzwischen zu den üblichen Begriffen zu gehören, allerdings nicht in der Mathematik. Es heißt "integrieren" und nichts anderes.

22.04.2013, 12:44

beweismietze-niete

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Okay. Aber woher soll ich das wissen. Die Produktregel ist mir schon geläufig... vielmehr zu erkennen, dass bei dem Konstrukt eine Produktregel existiert ist das Problem.
$\begin{eqnarray*} \psi'(x)=u'(x)\begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}+u(x) \begin{pmatrix} \phi_1'(x) \\ \phi_2'(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g'(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt die Produktregel.

22.04.2013, 13:05

RavenOnJ

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Das ist jetzt richtig. Man kann dies vereinfacht schreiben in der Form

$\begin{eqnarray*} \psi'=u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo lag die Schwierigkeit? Dass in der Funktion ein Produkt vorkommt, ist doch nicht schwer zu erkennen. verwirrt

verwirrt

Gehe nun weiter und setze diese Ableitung und die nicht-abgeleitete Funktion $\begin{align*} \psi \end{align*}$ in die Differentialgleichung ein. Benutze dabei erstmal nur die Form $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ , d.h. ohne die DGl in ihre Vektorkomponenten aufzudröseln. Daraus kann man dann schon eine Vereinfachungsmöglichkeit erkennen.

22.04.2013, 13:19

beweismietze-niete

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RE: Beweis Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi'=u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja, wenn man darauf hingewiesen wurde. In $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ also, ohne sie in die Vektorkomponenten aufzudröseln verwirrt

verwirrt

Genau das würde ich jetzt tun, daher mache ich den Schritt nicht, wenn du das sagst.

Wie soll ich es denn in $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ einsetzen?

22.04.2013, 13:47

RavenOnJ

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Ich sagte "erst mal". Letztendlich muss du dies natürlich in Vektorkomponenten schreiben. Möglicherweise verstehst du jetzt wieder nicht was ich meine. Mit "nicht in Vektorkomponenten" meine ich, erst mal nicht schreiben

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\psi_1'\\ \psi_2' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sondern einfach nur

$\begin{eqnarray*} \psi'=A\psi \end{eqnarray*}$

und dann natürlich in die einzelnen Summanden auflösen.

22.04.2013, 14:07

RavenOnJ

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Ich habe jetzt was Anderes zu tun und kann erst heute Abend wieder reinschauen. Bis dahin kann diesen Thread jemand anders betreuen.

22.04.2013, 21:32

beweismietze-niete

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Okay. Ich glaube ich weiß was du meinst:

$\begin{eqnarray*} \psi'=A\psi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi_1'=a_{11} \psi_1+a_{12} \psi_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \psi_2'=a_{21} \psi_1+a_{22} \psi_2 \end{eqnarray*}$

sondern einfach nur

So und jetzt?

22.04.2013, 22:33

RavenOnJ

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Das ist nicht falsch, nur an diesem Punkt im Beweisablauf unnötig. Deswegen sagte ich, erst mal nicht in die beiden Vektorkomponenten aufdröseln, sondern die DGl $\begin{eqnarray*} \psi'=A\psi \end{eqnarray*}$ in den jeweiligen Summanden von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi' \end{eqnarray*}$ schreiben. Das kann doch nicht so schwierig sein unglücklich

unglücklich

. Die Darstellung von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi' \end{eqnarray*}$ durch seine Summanden liegt dir doch jetzt vor. Nimm also

$\begin{eqnarray*} \psi=u\phi + \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \psi'=u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und setze in die DGl ein. Die dann resultierende DGl kannst du vereinfachen, indem du berücksichtigst, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung die DGl erfüllt.

22.04.2013, 22:46

beweismietze-niete

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$\begin{eqnarray*} \psi=u\phi + \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Sehe ich nichts verwirrt

verwirrt

und

$\begin{eqnarray*} \psi'=\frac{a_{12}}{\phi_1}g \phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ (a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier geht ja das.

22.04.2013, 22:55

RavenOnJ

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Zitat:

Original von beweismietze-niete
$\begin{eqnarray*} \psi=u\phi + \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Sehe ich nichts verwirrt

verwirrt

unglücklich

Dann guck dir mal dein 1. Posting an und die Definition von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \psi'=\frac{a_{12}}{\phi_1}g \phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ (a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und was soll das jetzt? verwirrt

verwirrt

Wie kommst du da drauf?

22.04.2013, 23:07

beweismietze-niete

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Zitat:

Original von beweismietze-niete
Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}: I \rightarrow \mathbb R^{2, 2} \end{eqnarray*}$ eine stetige Abbildung. Die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ besitze die spezielle Lösung $\begin{eqnarray*} \phi=\begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \end{pmatrix}: I \rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ . Im Teilintervall $\begin{eqnarray*} J \subset I \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} \phi_1 (x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in (x) \neq J \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass man durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} \psi(x)=u(x)\begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine weitere von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Lösung $\begin{eqnarray*} \psi : J \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ erhält, wobei
$\begin{eqnarray*} u, g I:\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktionen mit $\begin{eqnarray*} g \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind, die den Differentialgleichungen $\begin{eqnarray*} g'=(a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g) , u'=\frac{a_{12}}{\phi_1}g \end{eqnarray*}$ genügen.

Hm. Ich werde daraus einfach nicht schlau böse

böse

Zitat:

Original von RavenOnJ
Die Darstellung von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi' \end{eqnarray*}$ durch seine Summanden liegt dir doch jetzt vor. Nimm also
$\begin{eqnarray*} \psi=u\phi + \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \psi'=u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und setze in die DGl ein. Die dann resultierende DGl kannst du vereinfachen, indem du berücksichtigst, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung die DGl erfüllt.

Ja ich habe das $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ eingesetzt in meinem Posting davor.

23.04.2013, 00:10

RavenOnJ

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Du verstehst anscheinend wirklich nicht, worum es geht. Dass die Differentialgleichungen aus deinem 1. Posting für u und g gelten, soll doch erst gezeigt werden. Die kannst du doch dann nicht voraussetzen! Ich versuche die ganze Zeit, dir klar zu machen, wie man dahin kommt, aber du gehst einfach nicht auf meine Tipps ein.

Entweder du liest dir alles noch mal durch und nutzt meine Tipps, oder wir lassen das Ganze.

Außerdem heißt es: $\begin{eqnarray*} u, g :I\to \mathbb R \end{eqnarray*}$

23.04.2013, 08:34

beweismietze-niete

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Also: $\begin{eqnarray*} \psi'=A\psi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi=u\phi + \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi'=u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=A(u\phi + \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Auf die Weise einsetzen?

23.04.2013, 08:40

RavenOnJ

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Ja. Wie kann man das weiter vereinfachen?

23.04.2013, 08:55

beweismietze-niete

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Ja. Wie kann man das weiter vereinfachen?

$\begin{eqnarray*} u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=A(u\phi + \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Nunja man kann es rechts ausmultiplizieren und links sehe ich keine Vereinfachungsmöglichkeiten.

$\begin{eqnarray*} u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=Au\phi + A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.04.2013, 08:57

RavenOnJ

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und weiter? Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ die DGl erfüllt. Wie kann man also weiter vereinfachen?

23.04.2013, 09:01

beweismietze-niete

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Zitat:

Original von RavenOnJ
und weiter? Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ die DGl erfüllt. Wie kann man also weiter vereinfachen?

$\begin{eqnarray*} u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=Au\phi + A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir haben links als auch rechts von der Gleichung ein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ mhm verwirrt

verwirrt

Nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ auflösen? Trennung der Variablen?

23.04.2013, 09:06

RavenOnJ

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unglücklich

Du stocherst echt im Nebel.

$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ erfüllt die DGl, also $\begin{eqnarray*} \phi' = A\phi \end{eqnarray*}$ . Was folgt daraus für deine DGl in $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ?

23.04.2013, 09:11

beweismietze-niete

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Zitat:

Original von RavenOnJ
$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ erfüllt die DGl, also $\begin{eqnarray*} \phi' = A\phi \end{eqnarray*}$ . Was folgt daraus für deine DGl in $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ist eine weitere linear unabhängige Lösung von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

23.04.2013, 09:12

RavenOnJ

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nicht allgemein, sondern konkret in deiner Rechnung.

23.04.2013, 09:16

beweismietze-niete

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Zitat:

Original von RavenOnJ
nicht allgemein, sondern konkret in deiner Rechnung.

$\begin{eqnarray*} \psi(x)=u(x)\begin{pmatrix} \phi_1(x) \\ \phi_2(x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ g(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion die sich aus $\begin{eqnarray*} u,g & \phi \end{eqnarray*}$ zusammensetzt - konkret?

23.04.2013, 09:32

RavenOnJ

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Drücke ich mich so missverständlich aus? verwirrt

verwirrt

Du hast einerseits

$\begin{eqnarray*} u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=Au\phi + A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}\quad\quad (*) \end{eqnarray*}$

und andererseits

$\begin{eqnarray*} \phi'=A\phi\quad\quad (**) \end{eqnarray*}$

Wie kann man nun (*) mittels (**) vereinfachen?

23.04.2013, 09:42

beweismietze-niete

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Drücke ich mich so missverständlich aus? verwirrt

verwirrt

Vielleicht nicht so beispielbezogen und bisschen allgemein gehalten. Mit diesem Posting z.B. weiß ich was du meinst mit dem davor weniger. Freude

Freude

Wenn wir einerseits

$\begin{eqnarray*} u'\phi + u\phi' + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=Au\phi + A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}\quad\quad (*) \end{eqnarray*}$

und andererseits

$\begin{eqnarray*} \phi'=A\phi\quad\quad (**) \end{eqnarray*}$

haben. Kann man nun (**) in (*) einsetzen und wir bekommen:

$\begin{eqnarray*} u'\phi + u A\phi\quad + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=Au\phi + A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}\quad\quad (***) \end{eqnarray*}$

Jetzt fällt auf beiden Seiten dies weg und wir bekommen:

$\begin{eqnarray*} u'\phi + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}\quad\quad (****) \end{eqnarray*}$

Und jetzt können wir unser $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ einsetzen?

23.04.2013, 09:53

RavenOnJ

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Ich gebe dir ganz schön konkrete Hinweise, du liest sie nur nicht richtig.

Auf deine Gleichung (****) wollte ich hinaus. Dir war dabei hoffentlich klar, warum man A und u vertauschen kann, also $\begin{eqnarray*} Au=uA \end{eqnarray*}$ . Dies geht, weil u eine skalare Größe ist, kein Vektor.

Trotzdem verstehst du anscheinend immer noch nicht, was eigentlich zu zeigen ist. Du sollst jetzt nicht $\begin{eqnarray*} g',u' \end{eqnarray*}$ einsetzen, sondern es sollen jetzt Differentialgleichungen für $\begin{eqnarray*} g,u \end{eqnarray*}$ gefunden werden bzw. es soll gezeigt werden dass diese DGls die in der Aufgabe geschriebene Form haben.

Schreib jetzt also die DGl (****) in der voll ausmultiplizierten Form hin, für beide Vektorkomponenten getrennt.

23.04.2013, 10:12

beweismietze-niete

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RE: Beweis Differentialgleichung

Zitat:

Original von RavenOnJ
Trotzdem verstehst du anscheinend immer noch nicht, was eigentlich zu zeigen ist. Du sollst jetzt nicht $\begin{eqnarray*} g',u' \end{eqnarray*}$ einsetzen, sondern es sollen jetzt Differentialgleichungen für $\begin{eqnarray*} g,u \end{eqnarray*}$ gefunden werden bzw. es soll gezeigt werden dass diese DGls die in der Aufgabe geschriebene Form haben.

Ja hast recht. Ich habe mich mit dem Einsetzen irgendwie Festgefahren, ohne mir dabei im Klaren gewesen zu sein, dass wir dies ja zeigen sollen.

Also: $\begin{eqnarray*} g'=(a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g) , u'=\frac{a_{12}}{\phi_1}g \end{eqnarray*}$

einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{12}}{\phi_1}g \phi + \begin{pmatrix}0\\ (a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g)\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}\quad\quad (*****) \end{eqnarray*}$

Für beide Vektorkomponenten getrennt? Also jeweils einmal nur g' eingesetzt und einmal nur u' eingesetzt?

23.04.2013, 10:25

RavenOnJ

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RE: Beweis Differentialgleichung
Du schreibst dies (und in mir keimte schon Hoffnung auf):

Zitat:

Original von beweismietze-niete

Ja hast recht. Ich habe mich mit dem Einsetzen irgendwie Festgefahren, ohne mir dabei im Klaren gewesen zu sein, dass wir dies ja zeigen sollen.

..., aber postwendend machst du dies: böse

böse

Zitat:

Also: $\begin{eqnarray*} g'=(a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g) , u'=\frac{a_{12}}{\phi_1}g \end{eqnarray*}$

einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{12}}{\phi_1}g \phi + \begin{pmatrix}0\\ (a_{22} - a_{12} \frac{\phi_2}{\phi_1}g)\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}\quad\quad (*****) \end{eqnarray*}$

Für beide Vektorkomponenten getrennt? Also jeweils einmal nur g' eingesetzt und einmal nur u' eingesetzt?

böse

Wie oft soll ich es noch schreiben:

Nimm deine DGl (****) und multipliziere die aus. Schreib das Resultat dann für beide Vektorkomponenten getrennt auf.

23.04.2013, 10:35

beweismietze-niete

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Ouhje

traurig

$\begin{eqnarray*} u'\phi + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}\quad\quad (****) \end{eqnarray*}$

Rechts ok.
$\begin{eqnarray*} u'\phi + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}g \end{eqnarray*}$

Und links? verwirrt

verwirrt

23.04.2013, 10:38

RavenOnJ

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ja, links

verwirrt

? $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls ein Vektor.

23.04.2013, 13:57

beweismietze-niete

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$\begin{eqnarray*} u'\phi + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}0\\ g\end{pmatrix}\quad\quad (****) \end{eqnarray*}$

Rechts ok.
$\begin{eqnarray*} u'\phi + \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}g \end{eqnarray*}$

Also mit $\begin{eqnarray*} \phi=\begin{pmatrix}\phi_1\\ \phi_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist gemeint, oder?

Und mit $\begin{eqnarray*} u'=\begin{pmatrix}u_1'\\ u_2'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , richtig?

Dann ergibt das doch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}u_1'\\ u_2'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\phi_1\\ \phi_2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0\\ g'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (u_1' \phi_1+u_2' \phi_2 )+\begin{pmatrix} 0\\ g'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}g \end{eqnarray*}$

smile

smile

?

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