Folgenstetigkeit bzgl Topologien

20.04.2013, 23:51	ropart	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenstetigkeit bzgl Topologien Hallo! Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} X=Y=\mathbb R \end{eqnarray}$ Wir betrachten die zwei topologischen Räume $\begin{eqnarray} (X,\mathcal T_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Y,\mathcal T_2) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mathcal T_2 \end{eqnarray}$ die vom Absolutbetrag induzierte Standardtopologie auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} \mathcal T_1= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \{\emptyset, \mathbb R \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cup\{\mathbb R\setminus A : A \subseteq \mathbb R \text{ ist abzählbar}\} \end{eqnarray}$ . Beweise: Jede Abbildung $\begin{eqnarray} F: X\rightarrow Y \end{eqnarray}$ ist folgenstetig. Ich komme einfach auf keinen vielversprechenden Ansatz: Habe überlegt, ob ich mit offenen epsilon Kugeln als Umgebung arbeiten kann und, ob ich was mit Urbildern anfangen kann.. Bin damit aber nicht weitergekommen. Könnt ihr mir helfen?
21.04.2013, 00:34	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen in X konvergieren genau dann, wenn sie irgendwann konstant sind.
21.04.2013, 12:51	ropart	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort, aber ich verstehe nicht, warum das so sein sollte.. $\begin{eqnarray} \mathcal T_2 \end{eqnarray}$ ist ja eine feinere Topologie, also sollte die Konvergenz dort schwieriger sein, aber die Folge 1/k ist ja auch konvergent gegen 0, ohne irgendwann konstant 0 zu sein.. Wo liegt mein Fehler?
21.04.2013, 13:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ging ja um Folgen in X. Wie konvergente Folgen in Y aussehen, wissen wir ja sowieso. Es geht uns also um konvergente Folgen in X. Um zu erkennen wie die aussehen, sollte man sich mal eine gegen $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ konvergente Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ in X nehmen. Nun betrachte die Menge $\begin{eqnarray} U = (X \setminus \{x_n \| n \in \mathbb N \}) \cup \{ x \} \end{eqnarray}$ .
21.04.2013, 16:36	ropart	Auf diesen Beitrag antworten »
U ist im Prinzip eine Darstellung für alle offenen Umgebungen von x. Also muss für jede Folge die gegen x konvergiert ein N geben, so dass $\begin{eqnarray} \forall n \geq N x_n =x \end{eqnarray}$ sein muss, da alle anderen $\begin{eqnarray} x_n \neq x \end{eqnarray}$ nicht in der Umgebung U liegen. Was mich aber daran wundert ist, dass ich mit der gleichen Menge nicht die Konvergenz von 1/k gegen 0 bzgl der Standardtopologie widerlegen kann. Folglich müsste meine Aussage vorhin, dass $\begin{eqnarray} \mathcal T_1\subseteq\mathcal T_2 \end{eqnarray}$ ist, falsch sein.. Zurück zur Aufgabe: Wenn ich das oben so stehen lassen kann, müsste ich wie folgt argumentieren können: Sei f bel. und $\begin{eqnarray} \exists N ,\text{ sodass }\forall n\geq N x_n=x \end{eqnarray}$ (anders konvergiert $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ nach oben nicht). Dann gilt $\begin{eqnarray} \forall n\geq N f(x_n)=f(x) \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \forall f f(x_n)\rightarrow f(x) \end{eqnarray}$ . Kann ich das so stehen lassen?

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