Kugel-Fächer-Modell

20.04.2013, 23:54	rref	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel-Fächer-Modell Habe leider kein Ansatz bei dieser Aufgabe: Es gibt 4 Fächer und 10 Kugeln. Wie ist die Wahrscheinlichkeit dafür,dass im ersten Fach 3, im zweiten Fach 4, im dritten Fach 2 und im vierten Fach 1 Kugel landet. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
21.04.2013, 00:23	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu brauchst du die Polynomialverteilung : $\begin{eqnarray} p(3,4,2,1)=\frac {10!}{3!4!2!1!}(\frac 14)^3 (\frac 14)^4(\frac 14)^2(\frac 14)^1 \end{eqnarray}$
21.04.2013, 18:35	rref	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar danke schön, davon habe ich noch nie gehört Unangenehmerweise hänge ich bei der nächsten Aufgabe auch schon wieder Ich soll nun berechnen wie wahrscheinlich es ist, dass in jedem Fach mindestens eine Kugel landet. Diese Aufgabe taucht sogar gleich zweimal auf, einmal mit unterscheidbaren und einmal mit nicht unterscheidbaren Kugeln, aber macht das einen Unterschied? ps: Ich merke grad,dass ich mich im Unterforum geirrt habe. Gehe eigentlich nicht mehr zur Schule, aber das geht ja noch nicht wirklich über Schulmathematik hinaus, was die Sache umso trauriger macht, dass ich mir hier Hilfe holen muss.
22.04.2013, 20:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte das wieder mit der von Dopap erwähnten Multinomialverteilung lösen, allerdings artet das in eine ziemliche Summationsorgie aus, man müsste alle Quadrupel ohne Nullen aufsammeln, das sind $\begin{eqnarray} \binom{6+4-1}{4-1} = 84 \end{eqnarray}$ Summanden... Eine weniger exzessive Alternative bietet - ich höre schon wieder das allgemein Aufstöhnen - die allseits beliebte Siebformel: Mit Ereignis $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ ... Fach $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ bleibt leer ist dann $\begin{eqnarray} P\left( (A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)^c\right) \end{eqnarray}$ gesucht. Basierend auf der Symmetrie der Ereignisse bedeutet das dann gemäß Siebformel $\begin{eqnarray} P\left( (A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)^c\right) = 1-P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4) = 1-4P(A_1)+6P(A_1\cap A_2)-4P(A_1\cap A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4) \end{eqnarray}$ Denn die Wahrscheinlichkeit der Durchschnitte mehrerer $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ ist ziemlich einfach bestimmbar.
23.04.2013, 15:44	rref	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar danke, habe an die Siebformel gar nicht gedacht, weil wir die noch gar nicht hatten. Gehe ich recht in der Annahme, dass $\begin{eqnarray} P(A_{k}) = \left(\frac{3}{4} \right) ^{10} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(A_{1}\cap A_{2} ) = (\frac{2}{4} )^{10} \end{eqnarray}$ ? Für beide Aufgaben Typen also egal ob die Kugeln unterscheidbar oder nicht unterscheidbar sind.
23.04.2013, 17:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, und natürlich dann auch $\begin{eqnarray} P(A_1\cap A_2\cap A_3 ) = \left(\frac{1}{4} \right)^{10} \end{eqnarray}$ ("alles in Fach 4").
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