Zentrum totalinvariant?

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Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
Zentrum totalinvariant?
Hallo!

Wir hatten bei dir Übung ein Beispiel, bei dem zu zeigen war, dass das Zentrum eine charakteristiche Untergruppe ist!

Wir haben sogar zeigen können, dass das Bild unter allen Epimorphismen fix bleibt, aber gilt das auch für alle Endomorphismen?

Wir konnten nicht zeigen, dass es so ist, bzw wir vermuten, dass das Zentrum nicht totalinvariant ist, konnten aber auf so gar kein Gegenbeispiel kommen.

Gibts sowas?

lg
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die beiden Gruppen und .

Wir haben einerseits eine Inklusion und andererseits eine Projektion .

Dies liefert uns einen Homomorphismus , gegeben durch , der das Zentrum nicht fest lässt.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, was meinst du mit ? Ich versuch mir das grad vorzustellen, bzw nachzuvollziehen, aber ich konnte dazu nichts im Skriptum finden, bzw auch nichts auf Wikipedia!

Danke im Voraus
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ist einfach die zyklische Gruppe mit 2 Elementen.


Die kommt z.b. als als Untergruppe vor, daher die Inklusion.

Via tritt sie als Quotient auf, daher die Projektion.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Und mit meinst du die alternierende Gruppe, oder?

Haben dieses Semester Einführung in die Algebra, daher bin ich mit den Begriffen noch nicht so ganz vertraut
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
 
 
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Danke, dann versuch ich mal, zu verstehen, was hier genau passiert, ich hoffe ich darf mich wieder melden, sollte ich wo stecken, bzw einen teil nicht verstehen!
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage: Was ist denn das Zentrum von ?

Ich weis, dass das Zentrum von nur ist, und das Zentrum von ist doch ganz , oder?

Danke!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das solltest du versuchen selbst herauszufinden. (Ist ja das einzige, was noch übrig bleibt)

Die Operationen beim direkten Produkt sind komponentenweise definiert. Was vermutest du also wie das Zentrum des Produktes mit den beiden Zentren der Faktoren zusammenhängt?
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht das Zentrum dann so in die Richtung aus?
Ich hab bestimmt Notationstechnisch einen Fehler drin, aber ich hoffe, es wird klar, was ich mein

?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das ist das Zentrum.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh super, dann hab ich das jetzt verstanden, vielen Dank!!

Im Prinzip vertauscht für das Zentrum nur die Komponenten, sodass



Ich hab auch grad noch versucht, zu zeigen, dass ein GHM ist



Könnte man das so durchgehen lassen?
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