Verschoben: Automorphismusgruppe angeben

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meister_quitte Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben: Automorphismusgruppe angeben
Hallo Leute,

ich wollte wissen, wie man eine Automorphismusgruppe angibt. Ich habe mir mal die ausgesucht.

Es gilt .




Ist das so richtig? Falls nicht, könntet ihr mir das Prinzip erläutern?

Liebe Grüße

Christoph
Bruder Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Meister_quitte,

also im Allgemeinen musst du nur eine Menge von Automorphismen angeben. Du meinst zwar das richtige in deinen Beispiel, aber im Endeffekt sind die Elemente deiner Menge nur Gleichungen.

Wenn du betrachtest, dann sollten wir zunächst diese Gruppe additiv betrachten. Also

Weiter kann man sich überlegen, dass Ordnung hat, wobei die Eulersche Funktion ist.. Dies liegt daran, dass zyklisch ist.
Da auch zyklisch ist (kann man sich überlegen), folgt also
.

Daher kann man die Automorphismengruppe zum Beispiel als Erzeugnis eines Automorphismus darstellen. Sei definiert durch
Dann hat offensichtlich Ordnung 6. Daher ist
oder ein bisschen ausführlicher
meister_quitte Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bruder,

kann ich dein Verfahren genauso bei der Kleinschen Vierergruppe anwenden? Also jene Elemente (Abbildungen), die die selbe Ordnungszahl gemein haben?

Liebe Grüße

Christoph
Bruder Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiß jetzt zwar nicht genau, was du meinst verwirrt . Aber dennoch ist die Kleinsche Vierergruppe eine elementar abelsche 2 Gruppe. Das heißt, du kannst diese Gruppe als Vektorraum über betrachten. Dies ermöglicht dir die Theorie der linearen Algebra darauf anzuwenden und somit herauszufinden, dass die Automorphismengruppe der Kleinschen Vierergruppe 6 Elemente hat. Diese Elemente zdefinierst du dann genau und schreibst sie in eine Menge. Oder als Erzeugnis von 2 gewissen Automorphismen.

LG
meister_quitte Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bruder,

Danke ich denke ich habe es jetzt verstanden.


Liebe Grüße
Christoph
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