normiert aber nicht vollständig zeigen

21.04.2013, 16:51

Hanna91

normiert aber nicht vollständig zeigen

Meine Frage:
huhu

wie schon im Titel gesagt soll gezeigt werden das ein raum normiert ist aber nicht vollständig

soweit so gut ^^

im vektroraum C[a,b]
mit dieser norm
$\begin{eqnarray*} ||f||_{1} = \int_a^b \! |f(x)| \, dx \end{eqnarray*}$

und dazu soll man eine bestimmte folge betrachten
$\begin{eqnarray*} f_{n} (x) = n \qquad falls \qquad 0 \leq x \leq n^{-2} \qquad sonst \qquad \frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gehört c[0,1]

Meine Ideen:
gut meine idee ist folgende ich zeig erstmal das die folge cauchyfolge ist und dann zeige ich das sie außerhalb von c konvergiert

cauchyfolge weil : n < m
$\begin{eqnarray*} || f_n - f_m || \leq \int_0^1 \! (m-n) \, dx = m-n \leq m \end{eqnarray*}$
tja die erste frage ist ist das richtig so?
und dann die frage wie kann ich weiter machen ...weiß nämlich nicht so recht weiter

hilfe und tips wären nett bis später =)

21.04.2013, 16:58

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: normiert aber nicht vollständig zeigen
Soll jetzt $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ gelten?

Zeige lieber direkt, dass
$\begin{eqnarray*} \int_0^1\left\lvert f_n(x)-\frac1{\sqrt x}\right\rvert\dx\to0 \end{eqnarray*}$
gilt, woraus schon folgt, dass $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist.

21.04.2013, 17:40

Hanna91

Auf diesen Beitrag antworten »

hey danke für die schnelle antwort =)

hm ok habs mal versucht
$\begin{eqnarray*} \int_1^0 \! |f(x)| \, dx \leq \int_0^1 \! |f(x) - \frac{1}{\sqrt{x}}| \, dx + \int_0^1 \! \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx <br /> \leq ||f - f _n || + 2 \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

hm und jetzt wirds aber nicht null irgendwie bzw will ich ja auch eigentlich ne aussage zur vollständigkeit haben also sehn das der grenzwert der folge auserhalb des raumes liegt oder?

21.04.2013, 17:47

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?
Geh von dem Integral aus, das ich dir aufgeschrieben habe, nimm nicht irgendein anderes.

21.04.2013, 20:01

Hanna91

Auf diesen Beitrag antworten »

hm vorne das f sollte die norm sein

naja gut nehm ich dein integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f_n(x) - \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int_0^1 \! n-\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = n-2 \end{eqnarray*}$

meinst du das so ? wird aber wieder nicht null unglücklich

bin ich blind ? oder überseh ich was =?

21.04.2013, 20:40

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hanna91
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f_n(x) - \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int_0^1 \! n-\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = n-2 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf?
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist doch nicht konstant $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

21.04.2013, 20:57

Hanna91

Auf diesen Beitrag antworten »

naja sie ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ deswegen dachte ich ich setz einfach mal ganz dreist ein ^^

21.04.2013, 21:02

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber bitte mit Verstand. Wo ist $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und wo $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ ? Das musst du beim Integrieren berücksichtigen.

21.04.2013, 21:13

Hanna91

Auf diesen Beitrag antworten »

hm aber wenn ich nur die 1/wurzel einsetze is es natürlich null aber das erschein mir als zu trivial
den bereich $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq n^{-2} \end{eqnarray*}$ wo es n wird fand ich auch bisschen komisch irgendwie

21.04.2013, 21:15

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hanna91
hm aber wenn ich nur die 1/wurzel einsetze is es natürlich null aber das erschein mir als zu trivial

Auf einem gewissen Bereich ist der Integrand auch Null.

Zitat:

den bereich $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq n^{-2} \end{eqnarray*}$ wo es n wird fand ich auch bisschen komisch irgendwie

Was soll denn das heißen?

21.04.2013, 21:30

Hanna91

Auf diesen Beitrag antworten »

naja das ichs mir nicht richtig vorstellen kann
weiß auch nicht wie ich es besser sagen soll

o ist klar aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ n is doch der index der folge und kann nur natürlich zahlen annhemen oder?
also kann maximal 1 werden ? deswegen dachte ich ja auch das ich das n einfach ins integral reinpacken kann warscheinlich liegt da irgendwie mein denkfehler

21.04.2013, 21:43

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zeichne dir mal die Funktionen auf:
Hier die Abbildung $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac1{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ :

Hier $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ (konstant Eins):

Hier $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ :

Hier $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ :

Hier $\begin{eqnarray*} f_4 \end{eqnarray*}$ :

Hier $\begin{eqnarray*} f_5 \end{eqnarray*}$ :

D.h. $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist konstant $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bis zu dem Punkt, an dem $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ diesen Wert auch annimmt (also $\begin{eqnarray*} n^{-2} \end{eqnarray*}$ ) und stimmt von da an mit dieser Funktion überein.

21.04.2013, 22:27

Hanna91

Auf diesen Beitrag antworten »

wow vielen dank für die mühe = )
das machts klarer auf jedenfall Freude

aber liegt der grenzwert der folge jetzt nicht im vorgegebenden raum also ist der raum doch vollständig? aber eigentlich sollte er das ja nicht sein
sie konvergiert doch gegen null ?

21.04.2013, 22:30

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergiert zunächst einmal gar nicht.
Aber $\begin{eqnarray*} \int_0^1\lvert f_n(x)-\tfrac1{\sqrt x}\rvert\dx \end{eqnarray*}$ geht gegen Null, d.h. man könnte höchstens sagen, dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac1{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Die Funktion ist aber nicht stetig auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

normiert aber nicht vollständig zeigen

Verwandte Themen