Vektoren

22.02.2007, 17:10

Mareike-HH

Vektoren

Hallo,
ich sitze gerade vor einer Hausaufgabe, bei der ich überhaupt nicht weiterkomme, hier ist sie:

Ein Flugzeug wird im Punk $\begin{eqnarray*} P (1/4/2) \end{eqnarray*}$ geortet (Einheiten in km). Die Richtung und die geschwindigkeit des Flugzeuges im Punkt P können durch den vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} = (300 /-100 / 200)^T \end{eqnarray*}$ (Angaben in km/h) beschrieben werden. Die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ ( geben die Richtung an und der Betrag von v (auch wieder der Pfeil) die Geschwindigkeit.

Aufgaben:

Wo befindet sich das Flugkeug nach 1 h, usw... (hab ich schon gerechnet)

Wie schnell fliegt das Flugzeug ? (da hab ich 374,17 km/h raus)

und jetzt die Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme:

in der Höhe von 4 km befindet sich eine dicke Wolkendecke. An welchem Punkt durchstößt das Flugzeug die Wolkendecke? Wie lange benötigt es vom Ortungspunkt bis dorthin ?

Wäre toll, wenn mir das jemand noch heute beantworten kann.. :-)

22.02.2007, 17:20

MrPSI

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Herzllich Willkommen hier im Forum, Mareike-HH. Wink

Das Flugzeug durchstößt die Wolkendecke logischerweise dann, wenn es auf gleicher Höhe ist, wie die Wolke, also muss z=4 für den Durchstoßungspunkt gelten. Dann Koordinate in die Parameterdarstellung der Geraden einsetzen, Parameter errechnen und Durchstoßungspunkt bestimmen.

Die Zeit lässt sich mit der Formel $\begin{eqnarray*} t=\frac{\text{Gesamtstrecke}}{\text{Geschwindigkeit}} \end{eqnarray*}$ berechnen.

22.02.2007, 17:20

tigerbine

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RE: Vektoren
Da die aufeinander aufbauen, der Reihe nach:

$\begin{eqnarray*} |\vec{v}| = \sqrt{300^2+100^2+ 200^2} = 100\sqrt{3²+1²+2²} = 100 \sqrt{14} \approx 374,17 \end{eqnarray*}$

Beschreibung der Flugbahn des Flugzeugs:

Eine Gerade g, die aus P und v zu bestimmen ist.

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \vec{OP} + \lambda \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$

Die Wolkendecke: Eine zum Boden parallele Ebene in der Höhe (z) von 4km.

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = ? \end{eqnarray*}$

22.02.2007, 17:31

Mareike-HH

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Danke für eure Hilfe, aber ich scheine mich da ein bischen doof anzustellen, ich habe leider nur Bahnhof verstanden. Könntet ihr mir das vielleicht ein bischen "einfacher" zeigen?!

mfg
Mareike

22.02.2007, 17:35

tigerbine

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Eh, nö

Was verstehst Du denn nicht? Stell doch mal die Flugbahn des Flugezugs auf.

22.02.2007, 17:39

Mareike-HH

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da hapert`s bei mir schon...

22.02.2007, 17:48

MrPSI

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Ok, die Flugbahn ist gerade. Sie besteht deshalb aus einem Anfangspunkt und einer Flugrichtung. Der Anfangspunkt ist gegeben. Die Flugrichtung ist gleich dem Geschwindigkeitsvektor. Und mit einem Blick ins Schulheft sollte es nun eigentlich möglich sein, die Gerade zu basteln:
$\begin{eqnarray*} X=\vec{P}+t \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$

22.02.2007, 17:57

tigerbine

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Was ich bereits sagte unglücklich

Zitat:

Eine Gerade g, die aus P und v zu bestimmen ist.

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \vec{OP} + \lambda \cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$

23.02.2007, 07:45

prolimit

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$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 300 \\ -100 \\ 200 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+ r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bedingungen:
Ebene E:x soll parallel zu y-Achse liegen.
Punkt Q ( 0 | 0 | 4 ) ist vorgegeben.
Spannvektoren der Ebene müssen orthogonal zur z-Achse liegen.

Skalarprodukt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \vec{b}= 0 \end{eqnarray*}$

Da ich mich auch mit dem Thema beschäftige, hatte ich auch Lust mich mal daran zu probieren. Sind meine Gedanken richtig? (bevor ich jetzt den Schnittpunkt errechne)

23.02.2007, 11:28

tigerbine

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Ich will hier kein Spielverderber sein und Dir ein Limit setzen, aber wie soll Mareike so etwas lernen?

Die Gerade ist richtig. Mit den Angaben von P und v war sie auch leicht zu bestimmen. Die Ebene liegt paralell zur xy-Ebene. Diese wird von den "einfachen" Vektoren $\begin{eqnarray*} (1,0,0)^T,~(0,1,0)^T \end{eqnarray*}$ erzeugt. Deine sind zwar auch linear unabhängig, doch ist mir Wahl nicht ganz klar.

Für die Schreibweise des Skalarpodukts verwende bitte $\begin{eqnarray*} <,> \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} (0,0,1) \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ . Denn so wir Du es notierst führt es zu Mißverständnissen.

23.02.2007, 14:02

riwe

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Zitat:

Original von prolimit
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 300 \\ -100 \\ 200 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+ r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bedingungen:
Ebene E:x soll parallel zu y-Achse liegen.
Punkt Q ( 0 | 0 | 4 ) ist vorgegeben.
Spannvektoren der Ebene müssen orthogonal zur z-Achse liegen.

Skalarprodukt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \vec{b}= 0 \end{eqnarray*}$

Da ich mich auch mit dem Thema beschäftige, hatte ich auch Lust mich mal daran zu probieren. Sind meine Gedanken richtig? (bevor ich jetzt den Schnittpunkt errechne)

deine flugroute finde ich ok.

die ebenengleichung ist mir nicht ganz geheuer, bzw, ist mir das zu umständlich.

wegen:
Oton:
.....in der Höhe von 4 km befindet sich eine dicke Wolkendecke. An welchem Punkt durchstößt das Flugzeug die Wolkendecke? Wie lange benötigt es vom Ortungspunkt bis dorthin ?.....

hätte ich einfach gesetzt

$\begin{eqnarray*} E: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z = 4 \end{eqnarray*}$
und nun mit g geschnitten.
werner

24.02.2007, 17:57

prolimit

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Zitat:

Original von tigerbine
Ich will hier kein Spielverderber sein und Dir ein Limit setzen, aber wie soll Mareike so etwas lernen?

Zitat:

Wäre toll, wenn mir das jemand noch heute beantworten kann.. :-)

Ich habe die Lösung aufgrund von dieser Aussage gepostet, weil ich denke, dass es sich um eine Hausarbeit handelt, die dann zum nächsten Tag zu lösen sein sollte. Mittlerweile hatte sie das Ergebnis aus der Schule.

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist dies nun die Ebene, weil ich als Spannvektoren einfach linear abhängige Vektoren der xy-Ebene verwenden muss?

24.02.2007, 18:02

riwe

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ja das ist die parameterform der ebene E:
z = 4
und daher richtig
werner

24.02.2007, 18:03

tigerbine

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Ja.

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