Monotonie bestimmen (Bruchgleichung)

22.04.2013, 17:34

Monkey101

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Monotonie bestimmen (Bruchgleichung)

Hallo Leute.

Ich muss für mein Mathepraktikum nen paar Aufgaben lösen um schonmal vorab Punkte für die Klausur zu bekommen.

Jetzt steh ich grad aber total aufm Schlauch und find auch nichts im Internet was mir weiterhilft...
Und die Sachen die ich dafür brauche hab ich auch schon was länger nicht gemacht.
Deswegen wende ich mich mal wieder an euch:

Aufgabe:
Überprüfe die Monotonie
$\begin{eqnarray*} \frac{4x-2}{3x+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich das ganze mithilfe der Quotientenregel einfach mal abgeleitet und kam auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{6}{(3x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Es gilt ja, dass f '(x)>0 streng monoton steigend und f '(x)<0 streng monoton fallend ist.

So jetzt hab ich im Kopf, dass man bei einer Bruch-Funktion, wenn man den Zähler = 0 setzt die Nullstellen kriegt und beim Nenner = 0 die Polstellen.

Wenn ich das jetzt so mache käme bei den Nullstellen 6=0 raus und ne Polstelle bei -1/3 .
Ist die jetzt wegen 6>0 monoton steigend oder geh ich da mit dem falschen Ansatz dran?

Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte da kommen nämlich noch nen paar Aufgaben :/

Danke schonmal vorab,

mfg Monkey101

22.04.2013, 18:27

meister_quitte

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Hallo Monkey101,

also grundsätzlich gehst du erst mal nach den Extrempunkten. Sollte beispielsweise auf ein Minimum ein Maximum und wiederum ein Minimum folgen, muss sich die Monotonie verändern.

Bei gebrochen rationalen Funktionen, wie in deinem Beispiel, muss man ggf. auch noch die Polstellen in Betrachtung ziehen. Dabei musst du den rechts- wie linsseitigen Grenzwert, um dein nicht definiertes x, betrachten. Mach dir als Hilfe ruhig Wertetabellen, wenn du dir noch unsicher bist.

Liebe Grüße

Christoph

22.04.2013, 18:48

Monkey101

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Das versteh ich nicht so ganz...könntest du das etwas auf meine Aufgabe konkretisieren?

Wollte an die Extrempunkte durch Berechnung der Nullstellen...aber da der Zähler der Ableitung =6 ist krieg ich so schonmal keine Nullstellen raus...
So Untersuchung des Nenners bringt ne Polstelle bei -1/3

Was soll ich jetzt wegen dem Grenzwert machen?
Egal welche Zahl ich einsetze (außer -1/3) es kommt ne positive Zahl raus...heißt das jetzt, dass die steigend ist?

Sowas ist echt nicht mein Thema....

Danke schonmal vorab,

mfg Monkey101

22.04.2013, 19:28

meister_quitte

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Hallo Monkey101,

Wenn deine Nullstellen von deine Ableitung nichts ergeben, können wir uns nun an die Polstellen wagen. $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist auch richtig. Nun bilden wir die Limites: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +(-\frac{1}{3})} \frac{4x-2}{3x+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -(-\frac{1}{3})} \frac{4x-2}{3x+1} \end{eqnarray*}$ , einmal für rechts und dann für links. Wenn du fragen hast, jederzeit gerne. Wink

Wink

Liebe Grüße

Christoph

22.04.2013, 19:48

thk

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RE: Monotonie bestimmen (Bruchgleichung)

Zitat:

Original von Monkey101

Jetzt hab ich das ganze mithilfe der Quotientenregel einfach mal abgeleitet und kam auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{6}{(3x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

traurig

Aber Fakt ist, dass die Ableitungsfunktion im gesamten DB von f positiv ist, was die Frage nach der Monotonie schon vollständig klärt smile

smile

22.04.2013, 19:53

Monkey101

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Ok heißt das jetzt ich soll mich einmal von +unendl. der -1/3 nähern und einmal von -unendl.?

Dann würde von -unendl. das Ergebnis immer größer werden bis zur Polstelle.
Bei +unendl. wären die Werte bis zur 1/2 positiv und würden dann ins negative übergehen bis zur Polstelle...

Was sagt mir das aber jetzt über die Monotonie?

Danke wieder vorab,

mfg Monkey101

edit@thk
Heißt das jetzt es ist monoton steigend?

Ich bin echt kein Freund von lim & co...

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22.04.2013, 21:06

thk

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Zitat:

Original von Monkey101
edit@thk
Heißt das jetzt es ist monoton steigend?

Ich bin echt kein Freund von lim & co...

Genau. Es bedarf hier keiner gesonderten Betrachtung der Polstelle.
Im Zähler deiner Ableitung muss übrigens 10 stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.04.2013, 21:11

Monkey101

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Ah stimmt ist mir garnicht aufgefallen.

Ok dann nochmal fürs Protokoll...bei einer gebrochen-rationalen-Funktion betrachte ich den Zähler der Ableitung um eventuelle Nullstellen zu bekommen.
Steht eine Konstante im Zähler kann ich, je nach Vorzeichen, auf eine steigende oder fallende Monotonie schließen oder?

Danke wieder vorab,

mfg Monkey101

22.04.2013, 21:24

thk

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Ganz so einfach ist es leider nicht. Gegenbeispiele:
f(x)=1/x. Hier scheiden sich die Geister an der PSt.
Bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ wechselt die Monotonie auch ohne PSt.

Im gegebenen Fall 10/(irgendwas)^2 ist gesichert, dass der Ausdruck stets positiv ist, weil (irgendwas)^2 positiv ist.

Edit:
Ups es ging ja um f'. Aber wenn der Nenner von f' z.B. gerade ist und der Zähler konstant, dann ist f ungerade und hat wechselnde Monotonie. Beispiel: f'=-1/x^2 --> f=1/x

22.04.2013, 21:55

Monkey101

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Ok dann hab ich es doch noch nicht verstanden...
Wie krieg ich denn raus obs Monoton fallend oder steigend ist?
Da muss es doch ne herangehensweise oder ne Art Kochrezept geben oder?

Bei deinem 2. Beispiel käme ich zur Ableitung:
$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Da wäre ja für X=0 eine Nullstelle erreicht.
Jetzt würde ich gucken was bei X<0 und bei X>0 passiert und sehe ja, dass es für <0 fällt und für >0 wächst.
Also würde ich sagen für:
]-unendl.;0[ monoton fallend und von ]0;unendl[ monoton steigend...
Wie ich jetzt den Unterschied zu stark steigend und fallend rauskrieg weiß ich immernoch nit.

Und bei 1/x (ist auch unter den Aufgaben dabei) würde ich auf folgendes kommen:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

Im Zähler ne -1 also hätte ich gesagt sie ist monoton fallend... setze ich allerdings Zahlen ein seh ich das sie bis zur 0 fällt und ab der 0 steigt...ich bin total verwirrt unglücklich

unglücklich

Danke vorab,

mfg Monkey101

22.04.2013, 22:22

thk

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Hatte meinen Beitrag zu spät editiert. Es ging ja darum: f'(x)=konstant/N(x).
Hier kann die Ableitung keine NSt, sondern nur PSt besitzen (Nullstellen von N(x)).
Hat N keine Nullstellen, also f' keine PSt, dann ist die Monotonie von f im gesamten DB einheitlich.
An Polstellen kann die Monotonie von f wechseln.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ hat die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{{\color{red}-} 2x}{(x^{2}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$ .
N(x) ist positiv-->f ist (streng) m. steigend für x<=0 und (streng) m. fallend für x>=0 (0 kann eingeschlossen werden).

Streng monoton sind Funktionen dort, wo sie nicht konstant sind.

f=1/x ist im gesamten DB (streng) m. fallend. 1/2 ist zwar positiv, aber größer als 1/3. Die Funktioswerte von f' sind alle negativ, darum geht's ja.

22.04.2013, 23:04

meister_quitte

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Hallo Monkey101,

ich bin es nochmal smile

smile

. Also alles in Allem ist thks Methode ohne den Limes besser zu verstehen.

Ich fasse nochmal bzgl. deiner Aufgabe zusammen:

1. Ableitung bilden von f.

2. Maxima und Minima ermitteln (falls vorhanden)

3. Pollstellen bei gebrochenrationalen Funktionen.

4. x-Werte um einen "kritischen" Punkt (Polstelle bzw. von Extrempunkt zu Extrempunkt) vergleichen.

5. Intervall(e) angeben, wo f steigt bzw. fällt.

Liebe Grüße

Christoph

22.04.2013, 23:18

Monkey101

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Danke für die Antwort...ich fühl mich aber grad irgendwie ziemlich blöd.
Ich weiß immernoch nicht wie ich die Monotonie bestimmen kann.

Also ich habe irgend eine gebrochen rationale Funktion...

1. Ich leite also ab
2. Jetzt gucke ich mir den Zähler an und suche damit nach Nullstellen der Funktion.
3. Finde ich welche gucke ich wie die Werte der Ableitung für </> der Nullstelle aussehen

Jetzt nehm ich nochmal das 1/x^2+1 Bsp.
Ich sehe nach der Ableitung das wenn ich für X=0 einsetze der Zähler 0 wird (also ne Nullstelle).
Dann setze ich 1 ein und komme auf den Wert -0,5...dann setze ich 10 ein und kriege ~-0,002 raus und für 100 die -0,000002.
Also ist die Steigung immer negativ wird aber kleiner...die Kurve flacht also ab je weiter ich gen unendl. gehe...also monoton fallend.

Dann geh ich in die andere Richtung...für X=-1 kommt 0,5 für X=-10 kommt 0,002 und für -100 kommt die 0,000002 raus.
Die Steigung ist also positiv und die Kurve nimmt in Richtung Ursprung immer steiler zu also monoton steigend.
Setze ich Werte X<-1/8 ein flacht die Kurve dann bis zum Ursprung wieder ab (Steigung immernoch positiv).

Gleiche Vorgehen bei 1/x
Für X=1 kommt -1 raus, für X=10 kommt -0,01 usw raus...Steigung ist also negativ und flacht gen unendl ab...also monoton fallend

Für -1 usw kommen natürlich die selben Zahlen raus...also auch hier Monoton fallend...

Und für die Anfangsaufgabe käme immer eine positive Steigung raus... also wäre die Funktion hier stark monoton steigend.

Jetzt hab ich nirgendswo mit den Polstellen gearbeitet auf was müsste ich die denn untersuchen?
In meinem Beispiel wäre ja -1/3 nicht möglich...Soll ich also wenn eine konstante im Zähler steht die Steigung auf ihr Verhalten </> der Polstellen prüfen?

So ne Schritt-für-Schritt Anleitung oder nen Schritt-für-Schritt Bsp könnte mir vllt auch weiterhelfen.

Ich bedanke mich wieder vorab und wünsche noch einen schönen abend ich gucke erst morgen wieder rein

mfg Monkey101

edit: @Christoph
Ah ok also untersuche ich das Verhalten der Steigung in der nähe der Nullstellen (extrema) und falls es keine gibt ziehe ich die Polstellen zu rate (oder muss ich auch hier immer gucken?).

23.04.2013, 00:35

meister_quitte

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Hallo Monkey101,

ich rechne dir mal das anhand von der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2} \end{eqnarray*}$ vor. Denn tkhs Beispiel besitzt keine Polstellen im Reellen. Ich schreibe dir nur die Lösungen hin!. Der Rechenweg sollte dann kein Problem mehr sein.

1. Ableitungen bilden

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-2x+3}{(x^2-3x+2)^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{[-2(x^2-3x+2)^2]-[(-2x+3)(2(x^2-3x+2)(2x-3)]}{(x^2-3x+2)^4} \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} x_E=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ (Maximum)

3. $\begin{eqnarray*} x_1=1, x_2=2 \end{eqnarray*}$ (Polstellen)

4./5. $\begin{eqnarray*} [-\infty>x>1]f(x) monton steigend [1>x\geq\frac{3}{2}] f(x) monoton steigend [\frac{3}{2}\geq x>2] f(x) monton fallend[2>x>\infty], monoton fallend \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße
Christoph

23.04.2013, 11:44

thk

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sry wenn ich nochmal nörgle, nur Kleinigkeiten...

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\left[-2(x^2-3x+2)^2\right]-\left[(-2x+3)\cdot 2\cdot (x^2-3x+2)(2x-3)\right]}{(x^2-3x+2)^4} \end{eqnarray*}$
(LaTeX berichtigt, überzählige Klammer entfernt)

$\begin{eqnarray*} D_f=\left\{x\in \mathbb R \backslash \left\{ 1;2\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Alles richtig... falls es nur um die Monotoniefrage geht -->
Da der Nenner von f' stets positiv ist, wechselt die Monotonie an der Nullstelle des Zählers von f' : -2x+3=0. Fertsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Intervalle bitte richtig angeben: Für $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ ist
f steigend für x <= 3/2, fallend für x >= 3/2. Steht im Prinzip da, aber Grenzen beachten bei 'umständlicher' Schreibweise:
steigend für $\begin{eqnarray*} -\infty <x\leq \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\in \left(-\infty ;\frac{3}{2} \right] \end{eqnarray*}$
fallend für $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \leq x<\infty \end{eqnarray*}$ ... entsprechend...

23.04.2013, 15:08

Monkey101

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Ah ok vielen Dank...so langsam kommts.

Also funktioniert es quasi nach dem Prinzip, dass Verhalten der Ableitung im Bereich um die Nullstellen herauszufinden.
Die Polstellen muss man dann vorher mit dem Definitionsbereich rausnehmen weil die Gleichung dort nicht definiert ist.

Der Nenner ist bei einer gebrochenrationalen Funktion theoretisch doch immer positiv da im Nenner nach Formel ja immer V(u)² steht (was ja nicht negativ werden kann) oder sehe ich das falsch?

Ich rechne jetzt mal die Aufgaben durch und lad meine Ergebnisse nochmal hoch.

Es wäre schön wenn einer von euch da mal eben rüber gucken könnte ob ich das soweit verstanden hab.

Danke wieder vorab,

mfg Monkey101

23.04.2013, 16:00

Monkey101

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Sooo also entweder mach ich immernoch was falsch oder unsere Lehrerin war ziemlich unkreativ...ich befürchte ja ersteres.

1a)

$\begin{eqnarray*} \frac{4x-2}{3x+1} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{10}{9x^{2}+6x+1} \end{eqnarray*}$
Polstelle bei X=-1/3
Def: Alle reellen Zahlen außer -1/3

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} ]-\infty;\infty[ \end{eqnarray*}$ stark monoton steigend

1b)

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2x+1} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$
Polstelle bei X=-1/2
Def: Alle reellen Zahlen außer -1/2

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} ]-\infty;\infty[ \end{eqnarray*}$ stark monoton steigend

1c)

$\begin{eqnarray*} \frac{6x-1}{4x+3} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{22}{(4x+3)^{2}} \end{eqnarray*}$
Polstelle bei X= -3/4
Def: Alle reellen Zahlen außer -3/4

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} ]-\infty;\infty[ \end{eqnarray*}$ stark monoton steigend

1d)

$\begin{eqnarray*} 3^{x} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} ln(3)\cdot 3^{x} \end{eqnarray*}$
Def: Alle reellen Zahlen

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} ]-\infty;\infty[ \end{eqnarray*}$ stark monoton steigend

1e)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$
Def: Alle reellen Zahlen

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} ]-\infty;\infty[ \end{eqnarray*}$ stark monoton fallend

1f)

$\begin{eqnarray*} \frac{5x+1}{3x-2} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} -\frac{13}{(3x+2)^{2}} \end{eqnarray*}$
Polstelle bei X=-2/3
Def: Alle reellen Zahlen außer -2/3

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} ]-\infty;\infty[ \end{eqnarray*}$ stark monoton fallend

1g)

$\begin{eqnarray*} \frac{1-2x}{x} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$
Def: Alle reellen Zahlen

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} ]-\infty;\infty[ \end{eqnarray*}$ stark monoton fallend

1h)

$\begin{eqnarray*} 10^{-x} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{ln10\cdot10^{x}}{(10^{x})^{2}} \end{eqnarray*}$

Def: Alle reellen Zahlen

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} ]-\infty;\infty[ \end{eqnarray*}$ stark monoton fallend

Ich bedanke mich wieder vorab und hoffe, dass ich es verstanden habe...

mfg Monkey101

23.04.2013, 19:55

thk

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Hi,

1f Ableitung, PSt
1g D_f

*alle*
- streng monoton ...
- Angabe der Monotonie im D_f, z.B. >> streng m. fallend für $\begin{eqnarray*} x\in D_f \end{eqnarray*}$ <<

23.04.2013, 20:16

Monkey101

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Hi
Danke für die Antwort.

Bei 1f) hab ich das - zu nem + gemacht...
PSt müsste dann sein X=2/3 sein.

Bei 1g) Darf natürlich 0 nicht vorkommen.

Aber sonst sind die so richtig?
Muss ich bei so einer Spanne also nicht den Intervall angeben?

mfg Monkey101

23.04.2013, 23:27

thk

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1f) $\begin{eqnarray*} f'=-\frac{13}{(3x{\color{red}-}2)^{2}} \end{eqnarray*}$
also besser + zu - ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gibt viele Schreibweisen; Beispiele habe ich ja schon angegeben.
Bei Intervall-Schreibweise aufpassen, dass man nicht über Pole etc hinweggeht. Entweder dann mehrmals von..bis oder einfacher - wie im Bsp - von x Element D_f ausgehen.

Yo glaub jetzt hast du's smile

smile

23.04.2013, 23:45

Monkey101

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Ok super

smile

Dann vielen Dank für die gute und geduldige Hilfe.

mfg Monkey101

24.04.2013, 12:48

thk

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Gerne

Wink

... sicher auch im Namen von meister_quitte

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