Gruppenhomomorphismus (Normalteiler)

23.04.2013, 10:56

Sonnenschirm

Gruppenhomomorphismus (Normalteiler)

sei f: G->H ein Gruppenhomorphismus, dann gilt
1) wenn K Normalteiler von G, dann f(K) Normalteiler von Im f.

2) Außerdem muss ich ein Beispiel angeben, dass daraus nicht f(K) Normalteiler von H folgt.

Wie kann ich das machen? Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke schon im voraus. smile

23.04.2013, 11:17

Math1986

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RE: Gruppenhomomorphismus (Normalteiler)
Bei ersterem ist doch nur die Definition eines Normalteilers nachzurechnen, wo liegt da dein Problem?

23.04.2013, 16:35

Viriditas

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Ich muss das gleiche Beispiel lösen:

Ich kann ja sagen, da K Normalteiler von G, dass für alle g aus G und alle k aus K gilt: $\begin{eqnarray*} g^{-1}kg \in K \end{eqnarray*}$

Da ich zeigen muss, dass daraus folgt, dass f(K) Normalteiler von H, setze ich einfach für f(K) ein beliebiges k aus K ein, das obige Eigenschaft erfüllt.

Damit gilt ja: $\begin{eqnarray*} f(k)=f(g^{-1}kg)=f(g^{-1})f(k)f(g) \end{eqnarray*}$

Wegen der Homomorphismuseigenschaften folgt: $\begin{eqnarray*} f(k)=f(g)^{-1}f(k)f(g) \end{eqnarray*}$

Und weil $\begin{eqnarray*} f(g)^{-1}, f(g) \end{eqnarray*}$ Element aus dem Im f ist, gilt, dass f(k) in Normalteiler vom Im f ist, stimmt das?

Und beim Beispiel 2 müsste man nun Elemente aus dem Im f finden, die nicht Elemente aus H sind, oder? Aber welche könnten das sein?

23.04.2013, 17:28

RavenOnJ

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Es gilt im Allgemeinen $\begin{eqnarray*} g^{-1}kg\not=k \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} f(g^{-1}kg)\not=f(k) \end{eqnarray*}$ , auch wenn k Element eines Normalteilers K. Hättest du geschrieben

$\begin{eqnarray*} f(g^{-1}Kg)=f(K), K\vartriangleleft G, g\in G \end{eqnarray*}$

dann wäre es richtig gewesen.

23.04.2013, 17:43

Viriditas

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Stimmt, das habe ich außer Acht gelassen, danke schön.

Jetzt bräuchte ich nur noch ein Beispiel für die zweite Teilaufgabe, das wäre sehr nett wenn ihr mir/uns helfen könntet.

Ich müsste doch eigentlich nur zeigen, dass es eben einen Normalteiler gibt, bei dem $\begin{eqnarray*} f(g)^{-1}, f(g) \end{eqnarray*}$ nicht Element aus H sind. Aber mir fällt kein Beispiel ein.

23.04.2013, 17:44

RavenOnJ

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Da f Homomorphismus, gilt auf alle Fälle

$\begin{eqnarray*} f(K) < \mathrm{Im} f < H \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(K) = f(g^{-1}Kg)= f(g^{-1})f(K)f(g), \forall g\in G \end{eqnarray*}$

also sogar $\begin{eqnarray*} f(K)\vartriangleleft\mathrm{Im} f \end{eqnarray*}$ .

23.04.2013, 17:53

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Viriditas

Ich müsste doch eigentlich nur zeigen, dass es eben einen Normalteiler gibt, bei dem $\begin{eqnarray*} f(g)^{-1}, f(g) \end{eqnarray*}$ nicht Element aus H sind.

Nein, du sollst ein Beispiel konstruieren, sodass es ein Element $\begin{eqnarray*} h\in H, h\not\in \mathrm{Im} f \end{eqnarray*}$ gibt, für das $\begin{eqnarray*} h^{-1}\tilde k h\not \in f(K),\tilde k \in f(K) \end{eqnarray*}$ gilt. Damit wäre dann gezeigt, dass f(K) nicht unbedingt Normalteiler in H ist.

23.04.2013, 18:03

Viriditas

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Stimmt, das habe ich vertauscht, vielen Dank!

Leider fällt mir kein Beispiel ein.

23.04.2013, 18:27

RavenOnJ

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Wie wär's mit $\begin{eqnarray*} A_3\vartriangleleft S_3\ \end{eqnarray*}$ und dem Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f:S_3\to S_4 \end{eqnarray*}$ wobei die Permutationen aus $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ auf Permutationen aus $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, die die 4. Stelle fest lassen.

23.04.2013, 18:42

Viriditas

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Danke für den Vorschlag. Leider haben wir die Permutationen noch nicht gemacht, womit ich mir bei eventuellen Rückfragen meines Übungsleiters schwer tun würde. Gäbe es nicht einfachere Varianten mit den ganzen Zahlen mit mod oder Matrizen, wobei H die Menge aller 2x2-Matrizen sein könnte?

23.04.2013, 18:54

RavenOnJ

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Wie wäre es dann mit O(2) und als Normalteiler SO(2), sowie dem Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f:O(2)\to O(3) \end{eqnarray*}$ , der eine Richtung invariant lässt.

23.04.2013, 19:29

Viriditas

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Vielen Dank, Also O(2) sind die Mengen der orthogonalen 2x2 Matrizen, oder?
Was ist dann SO?

23.04.2013, 20:07

ollie3

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hallo,
Da ravenonj ist gerade nicht da ist, antworte ich mal kurz:
SO ist die spezielle orthogonale gruppe, das sind die orthogonalen matrizen,
die zusätzlich noch die determinante 1 haben.
gruss ollie3

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