(Äquivalenz-)Relationen allgemein

23.04.2013, 12:17

Poskepia

(Äquivalenz-)Relationen allgemein

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,
es tut mir leid, wenn ich eine so allgemeine (und wahrscheinlich elementare) Frage stelle, doch ich stehe am Anfang meines Studiums schon vor einem Problem.
Ich soll folgende Aufgaben lösen:

"Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen (auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) ?"

1.) a~b <=> a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b

2.) a~b <=> |a-b| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1

Nun, ich weiß, dass man Äquivalenzrelationen durch Prüfung von Reflexivität, Symmetrie und Transitivität bestimmt.

Ich habe leider nur keine Vorstellung davon, was genau eine Relation ist. Ich denke mal, dass das ">" , "<" , "=" usw. sind. Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie ich das nachweisen kann.

Theoretisch müsste doch jedes Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ reflexiv sein, oder kann man das nicht so sagen, weil die Relation im ersten Beispiel a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b lautet?

Muss man dann sagen, dass a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ a ist?
Weil das ja nicht funktioniert, oder doch?

Ich steh total auf dem Schlauch, kann mir bitte jemand helfen?

Meine Ideen:
Wie oben beschrieben gehe ich davon aus, dass a und b in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ immer reflexiv sind, aber ich bin mir da überhaupt nicht sicher, was das angeht...
Symmetrie liegt wohl keine vor, da
a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b ja nicht:
b $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ a ist, oder?

23.04.2013, 12:37

ollie3

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RE: (Äquivalenz-)Relationen allgemein
hallo,
du hast völlig recht, reflexiv sind beide relationen.
Und symmetrisch ist 1) nicht, also ist 1) keine äquivalenzrelation.
Bei 2) gibt es einen anderen wunden punkt, 2) ist zwar reflexiv und symmetrisch,
aber ist es auch transitiv? Wähle mal a=0, b=0,8 und c=1,6 und untersuche
die situation...
gruss ollie3

23.04.2013, 12:41

RavenOnJ

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Eine binäre Relation zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ . Im Fall von Äquivalenzrelationen ist A=B und es müssen Reflexivität, Symmetrie und Transitivität vorliegen. Bei deiner ersten Relation ist, wie du schon geschrieben hast, die Symmetrie verletzt, es kann also keine Äquivalenzrelation sein. Prüfe für die 2. Relation nach, ob die drei notwendigen Eigenschaften zutreffen.

Edit: @ollie Da haben wir uns schon wieder überschnitten Augenzwinkern

23.04.2013, 12:51

Poskepia

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RE: (Äquivalenz-)Relationen allgemein
Also die Situation ist dann wie folgt:

|0-0,8| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1

stimmt

|0,8-1,6| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1

stimmt auch, aber:

|0-1,6| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1

stimmt nicht.

Kann ich das einfach so mit einem Gegenbeispiel mit Zahlen beweisen?

Nochmal eine Frage zur Reflexivität und zur Symmetrie...
also bei, 1.) ist die Relation ja:
a $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ b

Somit muss ich, um die Reflexivität zu prüfen, einfach für a & b jeweils a & a oder b & b einsetzen und gucken, ob es stimmt?

Damit würde:
a < b
nicht reflexiv sein, da
a < a oder b < b falsch ist, oder?

Und bei der Symmetrie einfach a & b vertauschen und gucken, ob es dann immer noch stimmt?

Danke schonmal für deine Hilfe.

edit:
RavenOnJ du hattest geschrieben, dass bei Äquivalenzrelationen immer A = B sein müssen?

Das hatte ich mir auch schon vorher überlegt, da unter die Reflexivität Relationen wie z.B. " $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ " oder "=" oder "Teilmenge von" fallen.
Unter die Symmetrie ja eigentlich nur "=".
Und unter die Transitivität ja auch "<" oder ">" oder "=" usw.

Dementsprechend ist die einzige Relation, die bei allen drei Eigenschaften vorkommt, die Gleichheitsrelation, kann man das so sagen?

23.04.2013, 13:08

RavenOnJ

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Mit A=B war gemeint, die Mengen A und B, über denen eine Äquivalenzrelation gilt, müssen dieselben sein. Dies muss so sein wegen der Reflexivität, da jedes Element aus A auch in B enthalten sein muss, $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ und jedes Element aus B muss auch in A sein, $\begin{eqnarray*} B\subset A \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} A= B \end{eqnarray*}$ .

Die Grundmenge für die Relationen sei jetzt $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Die Symmetrie ist nicht nur bei der Relation "=" gegeben. Auch ist beispielsweise die Relation $\begin{eqnarray*} |a - b|< 1 \end{eqnarray*}$ symmetrisch. Sie ist aber nicht mehr transitiv.

23.04.2013, 13:12

ollie3

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RE: (Äquivalenz-)Relationen allgemein
hallo,
ja, du hast es erfasst, es ist wirklich so einfach, bei einer äquivalenzrelation
müssen die geforderten eigenschaften immer gelten, und es reicht, ein einziges
gegenbeispiel anzugeben.
gruss ollie3

23.04.2013, 13:14

Poskepia

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Okay, also muss ich, wie ich bereits gesagt habe, einfach a & b vertauschen, und gucken, ob die Relation immer noch gilt, um die Symmetrie nachzuweisen?

Und das mit dem Gegenbeispiel mit Zahlen reicht einfach aus?

23.04.2013, 13:51

Poskepia

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Oh, ich hab deinen Beitrag übersehen Olli,
danke für eure Hilfe, ich hoffe, dass ich das jetzt verstanden habe. smile

Noch eine Frage zum Schluss:

Die beiden folgenden Relationen:

a~b <=> |a| = |b|

a~b <=> |a| = |b| ungleich 0

sind doch ebenfalls beide Äquivalenzrelationen, oder macht das "ungleich 0" einen Unterschied?

23.04.2013, 16:05

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Poskepia
Die beiden folgenden Relationen:

a~b <=> |a| = |b|

a~b <=> |a| = |b| ungleich 0

sind doch ebenfalls beide Äquivalenzrelationen, oder macht das "ungleich 0" einen Unterschied?

Ich nehme an, du bewegst dich immer noch in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Im ersten Fall gibt es zu jedem a den Wert -a, der zu ihm äquivalent ist, im zweiten Fall ebenfalls. Dass die 0 dabei als Betrag ausgeschlossen wird, macht keinen Unterschied. Es ist bei einer Äquivalenzrelation nicht zwingend erforderlich, dass es einen anderen, äquivalenten Partner gibt. Insofern ist im ersten Fall |a| = 0 genauso eine Äquivalenzklasse.

23.04.2013, 16:24

Poskepia

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Okay, vielen Dank, das habe ich mir fast schon gedacht.
Ja ich hab mich immer noch in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bewegt, danke für eure Hilfe, ich glaube, dass der Groschen jetzt gefallen sein müsste.

27.04.2013, 17:17

Poskepia

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Hey, es tut mir leid, wenn ich nochmal stören muss, aber mein Tutor in meiner Mathe Übung hat gemeint, dass von den beiden Relationen:

a~b <=> |a| = |b|

a~b <=> |a| = |b| ungleich 0

nur eine eine Äquivalenzrelation ist.

Jetzt bin ich verwirrt.

Ist es vielleicht so, dass ich, da ich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bin, die 0 bei der zweiten Relation nicht gilt und deswegen sozusagen das "Gegenbeispiel" für diese Relation darstellt?
Also wenn a = 0 ist, dann würde es ja für die zweite Relation nicht gelten...

edit:
Zusatzinformation für die zweite Relation (die mit ungleich 0) ist:

a,b, element $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

27.04.2013, 19:29

RavenOnJ

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Das stimmt, denn es heißt: "Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen, Äquivalenzklassen genannt."
Das hatte ich nicht beachtet. Da a=0 dabei nicht erfasst wird, ist das zweite keine Äquivalenzrelation.

27.04.2013, 21:18

Poskepia

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Ah okay, dann vielen Dank Raven, dann hab ich jetzt wieder was dazugelernt. ^^

27.04.2013, 21:38

RavenOnJ

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