Quaternionengruppe

23.04.2013, 22:42

Theend9219

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Quaternionengruppe

Hallo Freunde Augenzwinkern

Augenzwinkern

Seien:
$\begin{eqnarray*} E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, I = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, K =\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} Q =<E,I,J,K> \ \leq GL(2,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ .

(a) Ist diese Gruppe abelsch?
(b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} Q = <I,J> = <I,K> = <J,K> \end{eqnarray*}$
(c) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} |Q| = 8 \end{eqnarray*}$

Also ich weiß dass:
eine Gruppe abelsch ist, wenn $\begin{eqnarray*} a*b = b*a\ \forall a,b \in G \end{eqnarray*}$ ist

Muss ich jetzt die Matrizen multiplizieren??

23.04.2013, 22:45

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe

Zitat:

Original von Theend9219
Muss ich jetzt die Matrizen multiplizieren??

Kannst du machen.
Bestimme z.B. mal $\begin{eqnarray*} IJ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} JI \end{eqnarray*}$ .

23.04.2013, 22:56

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Danke für deine schnelle Antwort:

Also das hab ich jetzt mal gemacht

Ich erhalte für $\begin{eqnarray*} IJ = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} JI = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und nun ?
das ist ja offenbar gleich.

23.04.2013, 22:58

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe

Zitat:

Original von Theend9219
Ich erhalte für $\begin{eqnarray*} IJ = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was hast du denn da angestellt?

23.04.2013, 23:02

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
das was du gesagt hast .. siehe bild

23.04.2013, 23:16

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Da berechnest du $\begin{eqnarray*} JI \end{eqnarray*}$ ...

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23.04.2013, 23:17

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Bei dem anderen komm ich aber aufs gleiche ergebnis

23.04.2013, 23:19

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Ja, weil du anscheinend beide male $\begin{eqnarray*} JI \end{eqnarray*}$ berechnest.

Oder anders gefragt: Wenn das aus dem Bild deine Rechnung für $\begin{eqnarray*} IJ \end{eqnarray*}$ war – wie rechnest du dann $\begin{eqnarray*} JI \end{eqnarray*}$ aus?

26.04.2013, 16:59

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Also ich bezeichne mal $\begin{eqnarray*} Q = <I,K,E,J> \end{eqnarray*}$ als das Standardskalarprodukt.
Es muss gelten lt. Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} Q = <I,J> =<I,K> = <J,K> \end{eqnarray*}$

Ich habe folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i^{2} & 0 \\ 0 & -i^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das soll ja offensichtlich:
$\begin{eqnarray*} Q = <I,J> =<I,K> = <J,K> \end{eqnarray*}$ sein ... aber das stimmt ja nicht?.. =(

26.04.2013, 17:21

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Ich fürchte, da gibt es ein kleines Missverständnis.
Mit
$\begin{eqnarray*} Q=\langle E,I,J,K\rangle \end{eqnarray*}$
ist hier die Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \operatorname{GL}(2,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ gemeint, die von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

29.04.2013, 20:39

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Danke für deine Antwort.. wie muss ich denn jetzt da vorgehen? ich weiß nicht für was die $\begin{eqnarray*} (2,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ steht .. das $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ für die Komplexe Zahlen und die 2..?

29.04.2013, 20:44

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Es geht hier um die Gruppe der invertierbaren $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .
Sollte eigentlich aus LinA bekannt sein.

29.04.2013, 20:50

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Also invertierbar heißt ja, falls es eine Matrix A gibt existiert auch eine Matrix B deren Multiplikation den Einheitsvektor ergibt. .. Aber wie kann $\begin{eqnarray*} Q \leq GL(2,\mathbb C) \end{eqnarray*}$
also Q kleiner sein oder gleich einer invertierbaren??

29.04.2013, 20:52

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe ist – nicht kleiner gleich.

29.04.2013, 20:55

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Ahhh...!! danke ^^ und wie multipliziert man nun??hihi

29.04.2013, 20:59

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Du willst wissen, wie man Matrizen multipliziert? geschockt

geschockt

29.04.2013, 21:03

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Na weil ich dachte das ich das bisher falsch gemacht hab Big Laugh

Big Laugh

29.04.2013, 21:15

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Du hast nur $\begin{eqnarray*} JI \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} IJ \end{eqnarray*}$ berechnet.
Wie du das gemacht hast, weiß ich auch nicht, aber die Schreibweise aus deinem Bild ist schon ganz gut.

29.04.2013, 21:29

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Aber da kommt trotzdem das gleiche raus..

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lg

29.04.2013, 21:38

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Das ist ja nun wieder etwas völlig anderes.
Was soll das überhaupt sein?

01.05.2013, 11:33

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Ich weiß nicht einmal was dieses $\begin{eqnarray*} Q = <E,I,J,K> \leq GL(2,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ sein soll... also ich denke mal das $\begin{eqnarray*} Q = <E,I,J,K> \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe vom $\begin{eqnarray*} GL(2,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ .. aber mit der Notation der eckigen Klammer kann ich nichts anfangen..

01.05.2013, 11:36

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe

Zitat:

Original von Che Netzer
Mit
$\begin{eqnarray*} Q=\langle E,I,J,K\rangle \end{eqnarray*}$
ist hier die Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \operatorname{GL}(2,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ gemeint, die von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

Also alle Produkte von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und deren Inversen.

01.05.2013, 11:49

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Also im Beispiel

$\begin{eqnarray*} <E,I> = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Inverse der Matrix E ist gleich der Matrix E also

$\begin{eqnarray*} E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} <br /> E^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Inverse der Matrix I ist gleich:

$\begin{eqnarray*} I^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{i} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{i} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und nun meinst du alle 4 miteinander zu multiplizieren?? D.h:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \frac{1}{i} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{i} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ??

lg

01.05.2013, 11:53

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} <E,I> = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein. Links steht eine Gruppe, rechts eine Matrix.

Die Gruppe $\begin{eqnarray*} \langle E,I,J,K\rangle \end{eqnarray*}$ ist diejenige Gruppe, deren Elemente (beliebige) Produkte der vier Matrizen und derer Inversen sind.

01.05.2013, 11:56

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Und wenn ich dann zeigen will Q = <I,J> = <I,K>
nehm ich da einfach eine beliebige Gruppe raus? und multipliziere sie dann mit I und J?

01.05.2013, 11:59

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Bitte was hast du vor? verwirrt

verwirrt

Du sollst vielmehr zeigen, dass sich jedes Element von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ durch Produkte von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ und deren Inversen darstellen lässt.

01.05.2013, 12:01

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
ich verstehe es nicht .. ich kann mir nichts vorstellen.. =(

01.05.2013, 12:03

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Wieso bearbeitest du eigentlich nicht erstmal den ersten Aufgabenteil?

Du hattest doch schonmal versucht, $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren.
Was ist daraus geworden?

01.05.2013, 12:17

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
da....

lg

01.05.2013, 12:30

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Na bitte, klappt doch.
Zu bemerken ist außerdem noch $\begin{eqnarray*} IJ=K \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} JI=-K \end{eqnarray*}$ ).
Damit hast du schonmal gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist.
Kannst du mithilfe der oben angegebenen Gleichung auch etwas darüber aussagen, ob $\begin{eqnarray*} Q=\langle I,J\rangle \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2013, 12:33

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Danke für deine Antwort..

Also $\begin{eqnarray*} <I,J> \end{eqnarray*}$ ist ja dann nichts anderes als
$\begin{eqnarray*} K*K^{-1} \end{eqnarray*}$ oder?

01.05.2013, 12:36

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Nein, $\begin{eqnarray*} \langle I,J\rangle \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe.
Das Zeichen $\begin{eqnarray*} \langle\,\dotso\rangle \end{eqnarray*}$ steht hier nicht (!) für ein Produkt.

Außerdem wäre $\begin{eqnarray*} KK^{-1} \end{eqnarray*}$ "nur" die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

01.05.2013, 12:46

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
So ich habe jetzt vieles ausprobiert und nicht hinbekommen ..
ich war eben selbst schon der auffassung, dass ich es als

$\begin{eqnarray*} Q = <\frac{K}{J},-\frac{K}{I}> \end{eqnarray*}$ schreiben muss..

kannst du mir vielleicht mal ein beispiel geben??

01.05.2013, 12:53

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Etwas wie $\begin{eqnarray*} \frac KJ \end{eqnarray*}$ ergibt keinen Sinn. Was soll das sein?

Also:
Die Gruppe $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ besteht aus all denen Elementen, die sich als Produkte von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und deren Inversen schreiben lassen.
Jetzt weißt du, dass $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ als Produkt von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ darstellbar ist.

01.05.2013, 13:02

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Ich stehe gerade sehr ziemlich auf dem Schlauch ... ich habe auch kein Händchen für die Lineare Algebra..ich verstehe gerade wenig..
Also Q ist eine Gruppe.. Die hat Elemente.. und sie besteht nur aus den Elementen die sich als Produkt von I,J, K und deren Inversen schreiben lassen...wie muss ich mir das vorstellen?.. ich brauch immer die graphische Veranschaulichung.. die Vorstellung..
tut mir leid..

01.05.2013, 13:15

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Eine graphische Veranschaulichung von Quaternionen kenne ich nicht.
Du solltest dir aber angewöhnen, auch ohne Anschauung arbeiten zu können.

Die Elemente von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ sind aber von der Form
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^nM_i\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} M_i\in\{I,J,K,I^{-1},J^{-1},K^{-1}\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,\dotsc,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .

01.05.2013, 13:22

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
Vielen Dank .. jetzt wird es mir klarer..

Das heißt also ich soll zeigen $\begin{eqnarray*} Q = <E,I,J,K,E^{-1},I^{-1},J^{-1},K^{-1}> = <I,J> = <I,J,I^{-1},J^{-1}> \end{eqnarray*}$
?

01.05.2013, 13:26

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Ja, wobei die Inversen und $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ jeweils überflüssig sind.
Insbesondere $\begin{eqnarray*} E^{-1} \end{eqnarray*}$ ...

01.05.2013, 13:33

Theend9219

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RE: Quaternionengruppe
d.h jetzt alle multiplizieren?

01.05.2013, 13:39

Che Netzer

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RE: Quaternionengruppe
Nein, wie kommst du darauf?

Nochmal:

Zitat:

Die Gruppe $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ besteht aus all denen Elementen, die sich als Produkte von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und deren Inversen schreiben lassen.

Jetzt benutze $\begin{eqnarray*} K=IJ \end{eqnarray*}$ .

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