Matrix Potenz nie die Einheitsmatrix

24.04.2013, 12:37	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Potenz nie die Einheitsmatrix Meine Frage: Hallo Leute, ich stehe vor einem kleinen Problem: Wie kann ich zeigen, dass die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit k potenziert, also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}^k \end{eqnarray}$ niemals die Einheitsmatrix gibt. Dass also kein solchen k existiert, so dass: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}^k = I \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Danke für die Hilfe!!
24.04.2013, 12:57	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn man zeigen soll, dass zwei Dinge nie gleich sein können hilft es sich Invarianten anzuschauen. Welche könnten hier helfen?
24.04.2013, 13:43	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind Invarianten?
24.04.2013, 13:46	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Da lass ich doch mal Wikipedia für mich sprechen: https://de.wikipedia.org/wiki/Invariante_%28Mathematik%29
24.04.2013, 14:19	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also zum Beispiel ändert sich die Determinante nie.., die ist immer 1, aber die von der Einheitsmatrix ist ja auch 1. Bringt wohl da nichts. es ist bei jeder Potenz: b = - c und b = -(a-2) . wobei ich jetzt mal $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ betrachtet habe.
24.04.2013, 15:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für ganzzahliges $\begin{eqnarray} k \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} A^k = kA - (k-1)E \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ natürlich die Einheitsmatrix ist.
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25.04.2013, 13:50	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, und jetzt kann ich doch sagen, dass: Der Term $\begin{eqnarray} - (k-1)E \end{eqnarray}$ hat nur einen Einfluss auf die Hauptdiagonale. $\begin{eqnarray} kA \end{eqnarray}$ hat Einfluss auf alle Matrixelemente. Da ich nur $\begin{eqnarray} k>0 \end{eqnarray}$ betrachte, das tue ich weil ich mich letzten Endes für die Ordnung eines Gruppenelements interessiere, werden die b und c niemals Null. Also kann niemals die Einheitsmatrix rauskommen. Oder?
25.04.2013, 16:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So ginge das. Oder so: Sei $\begin{eqnarray} k \geq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A^k = E \end{eqnarray}$ . Mit der Darstellung für $\begin{eqnarray} A^k \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} kA - (k-1)E = E \ \ \Leftrightarrow \ \ k \underbrace{(A-E)}_{\neq 0} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ k=0 \end{eqnarray}$ Wenn man sich das genauer durchdenkt, ist das aber auch nichts anderes, als was du in Worten formuliert hast.

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