Diagonalisieren

25.04.2013, 00:44

Nighel123

Diagonalisieren

Moin,

wenn ich die Matrix:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe, dann erhalte ich mit $\begin{eqnarray*} P_A(x)=det(A-x \mathbb E_n) \end{eqnarray*}$

das charakteristische Polynom. $\begin{eqnarray*} P_A(x)=-x(x-1)(x-2) \end{eqnarray*}$

es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \xi =(e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray*}$ die Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} B=(v_0,v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ ist die Basis aus Eigenvektoren von A

Erste Frage: Muss es immer so sein dass Eigenvektroren linear unabhängig sind?

Sei $\begin{eqnarray*} \varphi_A: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 , v \rightarrow A v \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} A=M^{\xi}_{\xi}(\varphi_A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&2 \end{pmatrix}=M^{B}_{B}(\varphi_A)=M^{B}_{\xi}(id) \,\, M^{\xi}_{\xi}(\varphi_A) \,\, M^{\xi}_{B}(id) \end{eqnarray*}$

Zweite Frage: Was genau bedeutet jetzt dieses $\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ zum Beispiel bei $\begin{eqnarray*} M^{\xi}_{B}(id) \end{eqnarray*}$

Dritte Frage:

Wenn ich nun die Matrix $\begin{eqnarray*} M^{\xi}_{B}(id) \end{eqnarray*}$ machen will was muss ich mir dann genau überlegen?

25.04.2013, 09:06

klarsoweit

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RE: Diagonalisieren

Zitat:

Original von Nighel123
Erste Frage: Muss es immer so sein dass Eigenvektroren linear unabhängig sind?

Ja, Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig. smile

Zitat:

Original von Nighel123
Zweite Frage: Was genau bedeutet jetzt dieses $\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ zum Beispiel bei $\begin{eqnarray*} M^{\xi}_{B}(id) \end{eqnarray*}$

"id" ist die identische Abbildung. Diese bildet also einen Vektor v auf sich selbst ab.

Zitat:

Original von Nighel123
Wenn ich nun die Matrix $\begin{eqnarray*} M^{\xi}_{B}(id) \end{eqnarray*}$ machen will was muss ich mir dann genau überlegen?

Du mußt die Vektoren der Basis B in der Standardbasis darstellen, was ja eine recht triviale Angelegenheit ist. Augenzwinkern

25.04.2013, 10:10

Ehos

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Als Ergänzung gebe ich mal eine kurze Erklärung der Symbole:
-------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} M_{\xi}^{\xi}(\phi) \end{eqnarray*}$ ist die Matrix, welche die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ vermittelt, wobei Original- und Bildvektor bezüglich der Standardbasis $\begin{eqnarray*} \xi =\{ \vec e_1,\vec e_2, \vec e_3 \} \end{eqnarray*}$ dargestellt sind.

$\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ ist die identische Abbildung. Diese wird nur dann durch die Einheitsmatrix vermittelt, wenn Original- und Bildvektor bezüglich der gleichen Basis dargestellt werden.

$\begin{eqnarray*} M_{B}^{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ ist diejenige Matrix, welche die identischen Abbildung $\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ vermittelt, wobei der Originalvektor bezüglich der Standardbasis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und der Bildvektor bezüglich der Eigenvektorbasis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dargestellt wurde. Also ist $\begin{eqnarray*} M_{B}^{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ nichts anderes als die Koordinatentransformation ein und desselben Vektors von der Basis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zur Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} M_{\xi}^{B}(id) \end{eqnarray*}$ : Analog wie wie $\begin{eqnarray*} M_{B}^{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ , aber die Basen sind vertauscht.

25.04.2013, 10:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ehos
$\begin{eqnarray*} M_{B}^{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ ist diejenige Matrix, welche die identischen Abbildung $\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ vermittelt, wobei der Originalvektor bezüglich der Standardbasis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und der Bildvektor bezüglich der Eigenvektorbasis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dargestellt wurde. Also ist $\begin{eqnarray*} M_{B}^{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ nichts anderes als die Koordinatentransformation ein und desselben Vektors von der Basis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zur Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Ich gebe zu, ich habe immer Schwierigkeiten mit der Definition. Wo steht in $\begin{eqnarray*} M_{B}^{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ die Basis des Urbildraums und wo die Basis des Bildraums? verwirrt

Mit deiner Definition müßte es dann nicht heißen: $\begin{eqnarray*} M^{B}_{B}(\varphi_A) = M^{\xi}_{B}(id) \,\, M^{\xi}_{\xi}(\varphi_A) \,\, M^{B}_{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ ?

25.04.2013, 11:03

RavenOnJ

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Zitat:

Original von klarsoweit

Mit deiner Definition müßte es dann nicht heißen: $\begin{eqnarray*} M^{B}_{B}(\varphi_A) = M^{\xi}_{B}(id) \,\, M^{\xi}_{\xi}(\varphi_A) \,\, M^{B}_{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ ?

Genau so. Basis im Urbildraum oben, Basis im Bildraum unten. Wenn die Matrix nur einen Basiswechsel vermittelt, steht die Ausgangsbasis oben und die Zielbasis unten.

Außerdem könnte man noch benutzen

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) =(M^{\xi}_{B}(id))^{-1} \end{eqnarray*}$

sodass sich ergibt

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{B}(\varphi_A) = M^{\xi}_{B}(id) \,\, M^{\xi}_{\xi}(\varphi_A) \,\, (M^{\xi}_{B}(id))^{-1} \end{eqnarray*}$

25.04.2013, 11:04

Ehos

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@klarsoweit
Du hast recht, ich habe in meinem ersten Beitrag die Stellung der Indizes bei der Matrix $\begin{eqnarray*} M_{B}^{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ genau umgekehrt verwendet wie der Fragesteller. Aber wir wissen, was gemeint ist.

25.04.2013, 11:10

RavenOnJ

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Ein wiki-Artikel dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)

26.04.2013, 11:14

Nighel123

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ok ich glaub ich habs jetzt besser verstanden:

ich hab jetzt mal die Konvention von Wikipedia benutzt. Also bei $\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ die Basis im Bild und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Basis im Urbild.

Also für die Identitätsmatrix aus dem Urbild mit der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in das Bild mit der Basis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) = \begin{pmatrix} 1&2&1\\-1&0&1\\0&-1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also für die Identitätsmatrix aus dem Urbild mit der Basis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ in das Bild mit der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} M^{\xi}_{B}(id) = \begin{pmatrix} 1/2&-1/2&-1\\0&0&-1\\1/2&1/2&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

es kommt jetzt auch das richtige raus:

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \,\, M^{\xi}_{\xi}(\varphi) \,\, M^{\xi}_{B}(id) = \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber zum Verständniss noch mal wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ multipliziere bekomme ich ja $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ raus.

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \cdot e_1 =b_1 \end{eqnarray*}$

und analog:

$\begin{eqnarray*} M^{\xi}_{B}(id) \cdot b_1 =e_1 \end{eqnarray*}$

Wo ich jetzt aber ein bisschen verwirrt bin bei $\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \cdot e_1 =b_1 \end{eqnarray*}$ ist:

Wir hatten mal im letzten Semester, dass die Spalten der Matrix die Bilder der Einheitsvektoren sind. Hier ist doch jetzt aber das Bild des i-ten Einheitsvektors gleich dem i-ten Basisvektors des Urbildes. Ist dass dann eine Allgemeinere Feststellung?

und @ Klarsoweit du hast gesagt:

Zitat:

Original von Nighel123
Zweite Frage: Was genau bedeutet jetzt dieses $\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ zum Beispiel bei $\begin{eqnarray*} M^{\xi}_{B}(id) \end{eqnarray*}$

"id" ist die identische Abbildung. Diese bildet also einen Vektor v auf sich selbst ab.

Aber bei $\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ wird doch kein Vektor auf sich selbst abgebildet. Oder ist damit gemeint dass wenn ich wenn ich einen Vektor zur Basis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ durch diese Matrix abbilde ich den selben Vektor, aber in der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bekomme.

Also:

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \,\, v_{\xi} = v_{B} \end{eqnarray*}$

aber mit Zahlenbeispielen kommt das bei mir irgendwie nicht hin...

26.04.2013, 12:07

Nighel123

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ok nice war nur n fehler in der Matrix smile

26.04.2013, 12:55

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Nighel123

Aber bei $\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ wird doch kein Vektor auf sich selbst abgebildet. Oder ist damit gemeint dass wenn ich wenn ich einen Vektor zur Basis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ durch diese Matrix abbilde ich den selben Vektor, aber in der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bekomme.

Also:

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \,\, v_{\xi} = v_{B} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} id \end{eqnarray*}$ ist die identische Abbildung und es ist gerade andersrum wie du geschrieben hast:

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \,\, v_{B} = v_{\xi} \end{eqnarray*}$

Wenn man innerhalb einer Basis bleibt, ist das M die Einheitsmatrix. Was aber in $\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ gemacht wird, ist ein Basiswechsel. Das ist zwar weiterhin die identische Abbildung für jeden Vektor, aber es wird von der Basis B in die Basis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ gewechselt, wobei $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ hier für die Standardbasis steht. Hat ein Vektor in der Basis B beispielsweise die Darstellung (1,0,0), dann hat er in der Basis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ die Darstellung $\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id)(1,0,0)^T \end{eqnarray*}$ . Sei B eine Basis aus Eigenvektoren zu deinem A, dann werden diese in der B-Basis als (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) dargestellt. Deshalb hat A in der Basis der Eigenvektoren Diagonalform. In der Standardbasis werden die Eigenvektoren aber als $\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id)(1,0,0)^T = (1,-1,0)^T \end{eqnarray*}$ usw. dargestellt.

26.04.2013, 12:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Nighel123
Also für die Identitätsmatrix aus dem Urbild mit der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in das Bild mit der Basis $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) = \begin{pmatrix} 1&2&1\\-1&0&1\\0&-1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...

Aber zum Verständniss noch mal wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ multipliziere bekomme ich ja $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ raus.

$\begin{eqnarray*} M^{B}_{\xi}(id) \cdot e_1 =b_1 \end{eqnarray*}$

Du mußt feinfühlig unterscheiden zwischen einem Vektor und seiner Koordinatendarstellung bezüglich einer Basis. Wenn ich mal den Vektor v_1 nehme, dann hat der bezüglich der Basis B den Koordinatenvektor (1, 0, 0). Multiplizieren wir nun diesen Koordinatenvektor mit der Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2&1\\-1&0&1\\0&-1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , so erhalten wir den Koordinatenvektor (1, -1, 0) bezüglich der Standardbasis und folglich ist der Bildvektor = 1 * e_1 - 1 * e_2 + 0 * e_3 = v_1 . Es wird also v_1 auf v_1 abgebildet und analog v_2 auf v_2 und v_3 auf v_3 . Die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2&1\\-1&0&1\\0&-1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist also die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung von der Basis B in die Standardbasis.

EDIT: beschreibt im Prinzip das gleiche wie im Beitrag von RavenOnJ nur mit anderen Worten.

26.04.2013, 13:02

RavenOnJ

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Verbesserung:

Zitat:

Original von RavenOnJ
Sei B eine Basis aus normierten Eigenvektoren zu deinem A, dann werden diese in der B-Basis als (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) dargestellt.

Normiert, da natürlich jeder Vektor $\begin{align*} av,a\in\mathbb R \end{align*}$ auch EV ist, wenn $\begin{align*} v \end{align*}$ EV ist.

Edit: Das war doch nicht ganz richtig, da die Norm eines Vektors sich beim Basiswechsel nicht verändert. Der Vektor $\begin{eqnarray*} v_{1,\xi}=(1,-1,0) \end{eqnarray*}$ in der Standardbasis hat aber Norm $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ , der normierte Vektor $\begin{eqnarray*} v_{1,B} \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt 2}(1,0,0) \end{eqnarray*}$ .

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