Basen von reellen Polynomräumen |
| 25.04.2013, 18:36 | amaik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Basen von reellen Polynomräumen Betrachten Sie den Raum aller reellen Polynome vom Grad<=2. Gegeben seien die Folgenden 3 Polynome. Bestimmen Sie ob es sich bei diesen 3 Polynomen um die Basis dieses Raums handelt. Also dazu uss ich ja unter suchen ob span(l1,l2,l3) gleich dem Polynomraum ist, und ob diese 3 Vektoren linear unabhänig sind. Aber wie geht das, kann ich die unabhänigkeit mit einen Gleichungssystem lösen? Bei dem ersten hab ich leider keine Idee. Vieln Dank für eure Hilfe. |
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| 25.04.2013, 19:52 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, untersuche zuerst die lineare Unabhängigkeit stur nach Definition. Mit hoher Wahrscheinlichkeit wirst du auf ein Gleichungssystem stoßen. Bzgl. Basis: Nutze aus, dass du die Dimension des Vektorraums ausrechnen kannst. |
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| 25.04.2013, 19:54 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich schreibe mal auf, was es für diese Vektoren heißt, linear unabhängig zu sein. Aus muss für alle (!!) x folgen: . Wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind, dann sind sie auch eine Basis - die Dimension des Raumes ist 3, das weißt du hoffentlich schon. (?) Der Trick liegt bei dem für alle x. Wähle das x geschickt, um herauszufinden, ob die Lambdas Null sind. Beispielsweise x = 0,1. Damit kommst du schon ein ganzes Stück weiter. Nach dem Motto: Wenn x = 0 ist, folgt für eines der Lambdas ..., wenn x = 1 ist, folgt ... 
Edit: watcher macht weiter, aber vielleicht ist mein Ansatz auch nicht schlecht ... 
Überlasse ich euch. |
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| 25.04.2013, 21:05 | amaik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, würde dass also bedeuten wenn ich x=0 wähle, wären in deinem Beispiel ja frei wählbar, somit nicht zwingend gleich null. Und ich hätte ein Gegenbeispiel für die Aussage , dass sie linear unabhänig sind. somit sind sie also auch keine Basis des Vektorraums? |
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| 25.04.2013, 21:24 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein hast du nicht. Cel hat extra zwei Ausrufezeichen geschrieben:
Wie er auch geschrieben hat, trifft das einsetzen von x=0 keine Aussage für alle Lambda. Du erhältst eine Gleichung, die die Lambda erfüllen müssen. Mit anderen Einsetzungen erhälst du andere Gleichungen. |
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| 25.04.2013, 22:18 | amaik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok , dann verstehe ich aber nicht so ganz was mir dass einsetzten bringen sollte. Also wenn ich jetz für x : 1,0 und -1 einsetze hätte ich die Gleichungen: Aber dann hab ich doch noch immer keine Aussage für alle x? |
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| 25.04.2013, 22:47 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch. Du hast damit gezeigt, dass -wenn überhaupt- nur für diese Werte eine Lösung für alle x existiert. Man kan aber leicht einsehen, dass diese Werte die Gleichung allgemein lösen. |
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| 26.04.2013, 06:47 | amaik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok vielen dank. |
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| 01.05.2013, 19:42 | Melisa-maria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Frage Hallo leute, ich habe jetzt nicht richtig verstanden, ob es hier um linearunabhaengige Polynome handelt, koenntet mir biite erklaeren, Danke im voraus |
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