Matrizengleichung lösen

26.04.2013, 16:13

mako0036

Matrizengleichung lösen

Hallo,

ich habe ein Problem mit dem Umstellen einer Matrizengleichung.

$\begin{eqnarray*} \vec{A} *\vec{X} +2*\vec{X} -\vec{C} =\vec{B} *\vec{X} \end{eqnarray*}$

Wie ich Matrizen addiere oder multipliziere weiß ich. Nur mit dem Umstellen hab ich Probleme.
Hier mein Lösungsansatz

$\begin{eqnarray*} \vec{X} =(\vec{A} +\vec{2} -\vec{B} )^{-1} +\vec{C} \end{eqnarray*}$

Ich habe noch die Matrizen auf Invertierbarkeit geprüft. A ist nicht invertierbar die anderen Beiden schon. Ich denke, deshalb würde meine Lösung nicht funktionieren. Kann man hier Gauß benutzen?

Danke schon einmal im Voraus für die Hilfe.

Grüße

26.04.2013, 16:35

Kasen75

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Hallo,

prinzipiell gilt: $\begin{eqnarray*} 2\cdot A=A \cdot (2 \cdot E)=A \cdot (E \cdot 2) \end{eqnarray*}$

E=Einheitsmatrix.

Ansonsten wäre der Rechenweg interessant.

Des Weiteren würde ich die Vektorsymbole weglassen. Es geht ja um Matrizen.

Zur Invertierbarkeit: Es muss das invertierbar sein, was invertiert wird. Es werden ja nicht die einzelnen Matrizen invertiert.

Grüße.

26.04.2013, 16:36

Helferlein

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Wozu hast Du über die Matrizen Vektorpfeile gesetzt? verwirrt

Zitat:

A ist nicht invertierbar die anderen Beiden schon

Was leider rein gar nichts mit der Aufgabe zu tun hat. Wichtig ist die Frage ob (A+2E-B) invertierbar ist.

Edit: Und raus. Zuschlag ging an Kasen.

26.04.2013, 16:41

mako0036

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Danke für die Antworten. Die Vektorpfeile hab ich drüber, weil es in der Aufgabe von unserem Prof. auch so ist. smile

Also müsste zu meiner 2 noch das E. Also 2E. Dann kann ich die Klammer ausrechnen und wenn das Ergebnis invertierbar ist, dann kann ich das so machen, wie ich es mir gedacht habe. Und ganz zum Schluss kann ich das Gleichungssystem mit Gauß lösen?

26.04.2013, 16:51

mako0036

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$\begin{eqnarray*} \vec{X}=(\begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -2 & 0 & -3 \\ 0 & -1 & -1 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} )^{-1}+\begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14 &14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{X} =(\begin{pmatrix} 2&2&1 \\ -2&1&3 \\ 4&2&-1\end{pmatrix} )^{-1} +\begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14&14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{X} =\begin{pmatrix} 3,5&-2&-2,5 \\ -5&3&4 \\ 4&-2&-3 \end{pmatrix}^{-1} +\begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14&14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt komm ich nicht weiter, da die Matrizen nicht gleich groß sind.

26.04.2013, 17:14

Kasen75

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Du hast die Matrixgleichung nicht richtig aufgelöst. Mit "Rechenweg" meinte ich den Rechenweg für die allgemeine Matrixgleichung.

26.04.2013, 17:17

mako0036

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Zitat:

Original von mako0036
$\begin{eqnarray*} \vec{X}=(\begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -2 & 0 & -3 \\ 0 & -1 & -1 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} )^{-1}+\begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14 &14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{X} =(\begin{pmatrix} 2&2&1 \\ -2&1&3 \\ 4&2&-1\end{pmatrix} )^{-1} +\begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14&14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{X} =\begin{pmatrix} 3,5&-2&-2,5 \\ -5&3&4 \\ 4&-2&-3 \end{pmatrix}^{-1} +\begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14&14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt komm ich nicht weiter, da die Matrizen nicht gleich groß sind.

Wo liegt mein Fehler? Ich habe oben in der ersten Zeile statt einem Minus ein Plus geschrieben. Aber mit einem Minus gerechnet. Tut mir leid, weiß nicht was du meinst.

Es müsste so heißen:
[quote]Original von mako0036
$\begin{eqnarray*} \vec{X}=(\begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -2 & 0 & -3 \\ 0 & -1 & -1 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} )^{-1}+\begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14 &14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{X} =(\begin{pmatrix} 2&2&1 \\ -2&1&3 \\ 4&2&-1\end{pmatrix} )^{-1} +\begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14&14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{X} =\begin{pmatrix} 3,5&-2&-2,5 \\ -5&3&4 \\ 4&-2&-3 \end{pmatrix}^{-1} +\begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14&14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.04.2013, 17:22

Kasen75

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Zitat:

Original von Kasen75
Du hast die Matrixgleichung nicht richtig aufgelöst. Mit "Rechenweg" meinte ich den Rechenweg für die allgemeine Matrixgleichung.

Rechenweg für $\begin{eqnarray*} A *X +2X -C =B *X \end{eqnarray*}$

26.04.2013, 17:27

mako0036

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$\begin{eqnarray*} \vec{A} *\vec{X} +2*\vec{X} -\vec{C} =\vec{B} *\vec{X} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A+2E)*X-B*X=C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A+2E-B)*X=C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X=(A+2E-B)^{-1} +C \end{eqnarray*}$

26.04.2013, 17:29

mako0036

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Ich glaub ich habs. Da muss statt plus C, mal C stehen oder?

26.04.2013, 17:32

Kasen75

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Zitat:

Ich glaub ich habs. Da muss statt plus C, mal C stehen oder?

Richtig.

26.04.2013, 17:32

mako0036

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Danke schön. Aber der Rest stimmt oder?

26.04.2013, 17:44

Kasen75

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So müsste die letzte Zeile aussehen:

$\begin{eqnarray*} {X} =\begin{pmatrix} 3,5&-2&-2,5 \\ -5&3&4 \\ 4&-2&-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10&6 \\ -2&-8 \\ 14&14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ohne $\begin{eqnarray*} ()^{-1} \end{eqnarray*}$ und natürlich mit dem Multiplikationszeichen. Ansonsten stimmt es.

26.04.2013, 17:48

mako0036

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Alles klar danke.

26.04.2013, 17:48

Kasen75

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Gerne. Freut mich, dass alles klar ist. smile

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