Symmetrische Gruppe S4 Konjugiertenklassen bestimmen

27.04.2013, 15:05

steviehawk

Symmetrische Gruppe S4 Konjugiertenklassen bestimmen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte von der Symmetrischen Gruppe S^4 die Konjugiertenklassen bestimmen. Ich dachte mir das so:
Für ein $\begin{eqnarray*} \sigma \in S_4 \end{eqnarray*}$ ist die Konjugiertenklasse definiert als:
$\begin{eqnarray*} C({\sigma} )= \left\{ \tau \sigma \tau^{-1}| \tau \in S_4\right\} \end{eqnarray*}$

Wenn ich für $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Identität wähle, dann erhalte ich meine erste Klasse, da bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} C(id) = \left\{ id \right\} \end{eqnarray*}$

Nun gehe ich weiter und schau mir die Transpositionen an. Ich weiß aus einer älteren Aufgabe bereits: $\begin{eqnarray*} \tau (i_1,...,i_r) \tau^{-1} = (\tau(i_1),...\tau(i_r)) \end{eqnarray*}$ für alle beliebigen $\begin{eqnarray*} r - \end{eqnarray*}$ Zykel.

So wenn ich jetzt mal eine Transposition $\begin{eqnarray*} (i,j) \end{eqnarray*}$ betrachte (2 Zykel), dann erhalte ich ja für beliebiges $\begin{eqnarray*} \tau \in S_4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} C(ij) = \left\{ \tau (ij)\tau^{-1}| \tau \in S_4\right\} = \left\{ (\tau (i),\tau(j))| \tau \in S_4\right\} = \left\{ (k,l)| \tau \in S_4\right\} \end{eqnarray*}$

Ich erhalte also wieder eine Transposition, egal wie mein $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ aussieht. Da Ich ja $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ in lauter disjunkte Konjugiertenklassen zerlegen kann, muss ich hier auch wieder wirklich alle meine Transpositionen erhalten, da ich mit den anderen r- Zykeln auch nur wieder r Zykel erhalte.

So kann ich das doch dann mit: $\begin{eqnarray*} (ijk) \in S_4 \end{eqnarray*}$ weiter machen...

Nun muss man noch beachte, dass auch Produkte von Transpositionen in $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ sind. So z.B. $\begin{eqnarray*} (12)(34) \end{eqnarray*}$ Hierfür gilt aber:

$\begin{eqnarray*} \tau(12)(34)\tau^{-1} = [\tau(12)\tau^{-1}][\tau(34)\tau^{-1}] = [\tau(1)\tau(2)][\tau(3)\tau(4)] \end{eqnarray*}$ Also erhalte ich wieder ein Produkt von 2 Transpositionen, welches auch disjunkt ist, davon gibt es nur 3..

Meine Ideen:
So kann ich das also mit allen machen.. Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} C(1) & \left\{ 1\right\} & |C| = 1 \\ C(ij) & alle Transpos. & |C(ij)|= 6 \\ C(ijk) & alle 3- Zykel & |C(ijk)|= 8\\ C(ijkl) & alle 4- Zykel & |C(ijkl)| = 6 \\ C((ij)(kl)) & alle (mn)(vw) disjunkt & |C((ij)(kl))|= 3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

also habe ich 24 Elemente was ja passt, da: $\begin{eqnarray*} |S_4| = 24 \end{eqnarray*}$

stimmen die Gedanken so weit??

Danke!

Edit: Ich soll in einem zweiten Schritt, für je ein Element $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ aus der Klasse $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ den Zentralisator $\begin{eqnarray*} C_{S_4}(\tau) \end{eqnarray*}$

wobei: $\begin{eqnarray*} C_{S_4}(\tau) : = \left\{ \sigma | \sigma\tau = \tau\sigma \right\} \end{eqnarray*}$

Da erhalte ich: $\begin{eqnarray*} C_{S_4}(id) = S_4 \end{eqnarray*}$

für die anderen erhalte ich doch im Grunde alle $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ deren einzelne Einträge alle disjunkt von denen in meinem Element sind, welches ich gerade untersuche:

Also z.B. $\begin{eqnarray*} C_{S_4}((ij)) = \left\{ \sigma | s_l \neq i,j \right\} \end{eqnarray*}$ wobei dann mein $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ natürlich die Form: $\begin{eqnarray*} \sigma = (s_1 s_2 ... s_r) \end{eqnarray*}$ ist. Und $\begin{eqnarray*} 1 \leq r \leq n \end{eqnarray*}$ also stehen in $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ eben die zahlen zwischen 1 und n..

Die Gruppe ist ja nicht ablesch, im Algemeinen. Sind die Einträge allerdings disjunkt macht die Reihenfolge ja keinen Unterschied.

28.04.2013, 12:40

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Symmetrische Gruppe S4 Konjugiertenklassen bestimmen
Hallo Stevie,

Zitat:

So wenn ich jetzt mal eine Transposition $\begin{eqnarray*} (i,j) \end{eqnarray*}$ betrachte (2 Zykel), dann erhalte ich ja für beliebiges $\begin{eqnarray*} \tau \in S_4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} C(ij) = \left\{ \tau (ij)\tau^{-1}| \tau \in S_4\right\} = \left\{ (\tau (i),\tau(j))| \tau \in S_4\right\} = \left\{ (k,l)| \tau \in S_4\right\} \end{eqnarray*}$

Der letzte Term dieser Gleichung ergibt keinen Sinn, da $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ nirgends definiert sind.

Zitat:

Ich erhalte also wieder eine Transposition, egal wie mein $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ aussieht. Da Ich ja $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ in lauter disjunkte Konjugiertenklassen zerlegen kann, muss ich hier auch wieder wirklich alle meine Transpositionen erhalten, da ich mit den anderen r- Zykeln auch nur wieder r Zykel erhalte.

Dass Du immer wieder Transpositionen erhältst, ist richtig. Mir wird aber bei Deiner Argumentation nicht klar, warum alle Transpositionen in einer Klasse liegen sollten. Es könnte doch mehrere disjunkte Klassen von Transpositionen geben.
(In der $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ sind zum Beispiel auch nicht alle 3-Zyklen konjugiert.)
Nimm Dir lieber eine feste Transposition (z.B. $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ ) und gib dann für beliebiges $\begin{eqnarray*} (kl) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k,l\in S_4,k\neq l \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ konkret an, um $\begin{eqnarray*} \tau(12)\tau^{-1}=(kl) \end{eqnarray*}$ zu gewährleisten.

Zitat:

So kann ich das also mit allen machen.. Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} C(1) & \left\{ 1\right\} & |C| = 1 \\ C(ij) & alle Transpos. & |C(ij)|= 6 \\ C(ijk) & alle 3- Zykel & |C(ijk)|= 8\\ C(ijkl) & alle 4- Zykel & |C(ijkl)| = 6 \\ C((ij)(kl)) & alle (mn)(vw) disjunkt & |C((ij)(kl))|= 3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt. Freude

Zitat:

für die anderen erhalte ich doch im Grunde alle $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ deren einzelne Einträge alle disjunkt von denen in meinem Element sind, welches ich gerade untersuche:

Das reicht nicht, denn zum einen kommutiert jedes Element natürlich mit sich selbst und allen seinen Potenzen, und zum anderen kann ein Produkt von gleichförmigen Zyklen (z.B. $\begin{eqnarray*} (12)(34) \end{eqnarray*}$ ) auch mit einem Element vertauschen, welches die Zyklen vertauscht ( $\begin{eqnarray*} (13)(24)\in C_{S_4}((12)(34)) \end{eqnarray*}$ .

Du kennst ja auch schon die Konjugiertenklassenlängen für jedes Element. Damit kannst Du jeweils auch die Ordnung des Zentralisators bestimmen.

Gruß
Reksilat

28.04.2013, 18:56

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Symmetrische Gruppe S4 Konjugiertenklassen bestimmen
Würde es denn dann schon reichen, wenn ich nur mit einem Vetreter, also der Transposition $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ arbeite und dann die $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ angebe, so dass alle Transpositionen konstruiert werden?

wenn ja warum? Weil das eine Äquivalenzklasse und dann reicht ein Vetreter, da die anderen ja alle äquivalent zu (12) sind..?

Danke

Ich mal für die Transpositionen gezeigt, dass durch Konjugation von (12) wirklich wieder alle Transpositionen erzeugt werden könne:
$\begin{eqnarray*} (23)(12)(23)^{-1} = (13) (24)(12)(24)^{-1} = (14) (1234)(12)(1234)^{-1} = (23) (1324)(12)(1324)^{-1} = (34) (124)(12)(124)^{-1} = (24) (id)(12)(id) = (12) \end{eqnarray*}$

damit wäre alle drin..

29.04.2013, 13:07

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Symmetrische Gruppe S4 Konjugiertenklassen bestimmen
Ja, das reicht.
Konjuguiert zu sein, ist eine Äquivalenzrelation und somit genügt es, diejenigen Elemente zu bestimmen, die zu einem Vertreter der Klasse konjugiert sind.

Neue Frage »

Antworten »

Symmetrische Gruppe S4 Konjugiertenklassen bestimmen

Verwandte Themen