Eigenwerte 3x3 Matrix

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wiiing Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte 3x3 Matrix
Meine Frage:
Hallo ich habe eine Frage zu der Korrektheit dieser Aufgabe:
Man soll die Eigenwerte von der Matrix A= berechnen

Meine Ideen:
Dazu habe ich folgendes gemacht P(x)=det(A-x*E)=|A-x*E|
und dann halt diese Determinante berechnet und dann komme ich auf x^2+11x-60 als charakteristisches Polynom und als Eigenwerte dann -15 und 4.
Aber wenn ich die Matrix in einen Onlinerechner eingebe kommt er auf ein anderes Ergebnis mit einem Polynom dritten Grades. Habe ich also einen Fehler drin?


Edit(Helferlein): Link entfernt, da unnötig.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast Du, denn der Grad des charakteristischen Polynoms entspricht immer der Größe der Matrix. Es kann also in deinem Beispiel kein quadratisches Polynom herauskommen.
wiiing Auf diesen Beitrag antworten »

hab den fehler gefunden war einmal in der zeile verrutscht danke Augenzwinkern
wiiing Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt habe ich die richtigen Ergebnisse raus für die Eigenwerte.
Nun bin ich bei den Eigenvektoren und habe da ein kleines Problem:
die Rechnet man doch wie folgt richtig?
(A-x*E)*v=0
also für die erste Nullstelle x=5 gilt
richtig?
Aber da kommt dann für v1,v2,v3 = 0 raus was laut dem Rechner nicht stimmt , da müsste nämlich (1,0,1) rauskommen.Was habe ich falsch gemacht?
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf v1=v2=v3=0?




Addiere die erste und letzte Zeile miteinander und wir erhalten:



Der Kern dieser Matrix besteht offensichtlich nicht nur aus dem 0 Vektor.
wiiing Auf diesen Beitrag antworten »

habe das einfach mit dem einsetzungsverfahren gemacht und dann kommt für alle Werte 0 raus und nicht mit dem Gauß. dann steht da ja 0v1+0v2+0v3=0 heißt das, dass v3 beliebig ist? Für v2 kommt 0 raus das sieht man ja direkt aber wenn v3 beliebig ist und v2 0 dann ist v1 doch auch 0 wenn man das dann einsetzt und durch -4 teilt.
 
 
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

v3 ist beliebig, denn aus der Matrix, die in Zeilenstufenform ist, kann man folgendes herauslesen:

1. 0*v3=0. Jede reelle Zahl erfüllt dies, daher gilt: v3 ist beliebig.

2. -1*v2 = 0. teilen durch (-1) liefert: v2=0

3. -4*v1+0*v2+4*v3=0

Dies ist äquivalent zu: v3=v1

Was ist also die Lösungsmenge des LGS?
wiiing Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt doch dann quasi unendlich viele Lösungsmengen in R also z.b. {10,0,10} wäre eine Möglichkeit. Aber warum steht dann bei dem Onlinerechner genau der Vektor {1,0,1} als eigenvektor? Oder kann der Rechner das beliebig einfach nicht darstellen? das wäre ja dann verwirrend
Mathesüchtiger Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist evtl. die lineare Hülle dieses Vektors gemeint. Eigenräume sind Untervektorräume der Dimension >= 1. Aus dem Grund enthält jeder Eigenraum stets unendlich viele Elemente, d.h. es existieren zu jedem Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren.

Es reicht also immer aus eine Basis des Eigenraumes anzugeben.
wiiing Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar danke hast mir sehr geholfen smile
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