Basis finden für den Basiswechsel

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27.04.2013, 17:27	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis finden für den Basiswechsel Hi ich hab folgendes Problem: Ich habe eine Matrix bezüglich einer linearen Abbildung (bzgl. der Standardbasis). Jetzt suche ich eine (in diesem Fall) Orthonormalbasis, bezüglich der die Matrix der Abbildung eine andere Gestalt hat. (Ich hab also 2 konkrete Matrizen eines Endomorphismus und suche zur zweiten die ONB des R^3 in diesem Fall) Gibt es ein allgemeines Lösungsschema, um diese Basis zu finden? Mein Ansatz war bisher, dass die Abbildung (sei sie y) die Einheitsvektoren auf die Spaltenvektoren der Matrix bzgl der Standardbasis abbildet. Da y linear ist, kann ich dadurch auf die Bilder der neuen Basisvektoren schließen. Also z.B. sei (x1,x2,x3) ein (noch nicht normierter) Vektor der gesuchten ONB, dann ist doch y(x1,x2,x3)=x1y(1,0,0)+x2y(0,1,0)+x3*y(0,0,1) und die y(1,0,0).... sind mir bekannt. Allerdings führt dieses Prinzip nicht zum Ziel (weil nicht zu lösende LGS entstehen). Wie geht es eleganter? Danke
27.04.2013, 19:54	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden für den Basiswechsel Eine Möglichkeit http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren Dort werden auch noch andere erwähnt, z.B. Givens-Rotationen
28.04.2013, 02:04	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Orthonormalisierungsverfahren kann ich eigentlich anwenden, also eine ONB zu finden krieg ich hin. Aber diese Aufgabe scheint etwas anders geartet zu sein, bzw sehe ich nicht, wie ich das Verfahren adäquat übertragen könnte. Die Aufgabe im Wortlaut ist: Der Endomorphismus $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ : R^3 -> R^3 habe bezüglich der Standardbasis des R^3 die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 6 \\ 6 & 3 & -2 \\ -2 & 6 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Man bestimme nun eine Orthonormalbasis des R^3, bezüglich der die Matrix von alpha eine der beiden Formen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(a) & -sin(a) \\ 0 & sin(a) & cos(a) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(a) & -sin(a) \\ 0 & sin(a) & cos(a) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat. Jetzt ist die Standardbasis ja schon eine ONB und andere Basisvektoren liegen ja nicht vor, oder? Wie wende ich das Verfahren hier an? Ich habe mittels meiner Methode übrigens herausgefunden, dass einer der Basisvektoren der ONB so aussehen müsste: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3} } \\ \frac{1}{\sqrt{3} } \\ \frac{1}{\sqrt{3} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ //ich würde gerne bei den Mitteln bleiben, die in der Vorlesung schon behandelt wurden; die von dir genannte Methode gehört da (noch) nicht dazu
28.04.2013, 14:05	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab herausgefunden, dass die Matrix A Element der Gruppe SO(3) ist und den reellen Eigenwert 1 hat. In einem Buch habe ich jetzt gefunden, dass man den Winkel alpha aus den unteren 2 Matrizen ermitteln kann, indem man den Eigenvektor v zum Eigenwert 1 normiert, einen auf v senkrechten normierten Vektor w wählt und A.w bildet. Dann soll gelten: cos(alpha)=<w,A.w> und das liefert in diesem Fall cos(alpha)=1/7 Kann das jemand bestätigen? Außerdem hab ich gelesen, dass ein S gibt mit S(t)AS= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(a) & -sin(a) \\ 0 & sin(a) & cos(a) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (S(t) scheint die Transponierte von S zu sein. ) Ich suche aber noch danach, wie ich dieses S (wäre ja die Basiswechselmatrix zur gesuchten Basis) angeben könnte.
28.04.2013, 15:50	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix A führt eine Drehung um den Eigenvektor durch. Wenn du einen weiteren zum EV senkrechten Vektor errechnest und einen Dritten der zu den beiden ersten senkrecht steht (Kreuzprodukt), auf Länge 1 normierst, dann hast du deine Basis. Matrix S enthält als Spaltenvektoren EV,2. und 3.Vektor. Man kann sich das so vorstellen: Die reine Drehmatrix dreht ja um die X-Achse. Um nun eine Drehung um eine andere Achse (EV) darzustellen, verdreht man den Raum mit der Matrix S^t zunächst so, dass der EV auf der X-Achse landet (die beiden anderen Basisvektoren werden auf Y- und Z-Achse abgebildet/bzw. enspr. Standardbasis). Dann führt man eine Drehung um die X-Achse durch und anschließend wird der Raum wieder "zurückgedreht", indem man mit der Matrix S die Standardbasis (X-,Y- und Z-Achse) auf EV und die beiden anderen Basisvektoren abbildet: $\begin{eqnarray} A=S\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(a) & -sin(a) \\ 0 & sin(a) & cos(a) \end{pmatrix}S^T \end{eqnarray}$
28.04.2013, 16:24	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme auf: 1/sqrt(3) (1,1,1) (Das ist zugleich der Eigenvektor zum EW 1 von A) 1/sqrt(6) (2,-1,-1) 1/sqrt(2) (0,-1,1) als gesuchte ONB des R^3 es war noch der Drehwinkel alpha gesucht Hier komme ich auf alpha=2Pi-arctan(4*sqrt(3))=4,856.... also etwa 278° Müsste richtig sein, oder (die Basis zumindest).
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28.04.2013, 22:12	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis und Winkel sind richtig.
28.04.2013, 22:49	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank für die Hilfe!
28.04.2013, 23:18	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss mich leider korrigieren. Ich war davon ausgegangen, dass du den 3. Basisvektor durchs Kreuzprodukt mit EV und 2. Basisvektor ermittelt hast (Rechtssystem!). Offenbar war das nicht der Fall, weil die Determinante von S negativ ist. Damit führst du vor der Drehung um die X-Achse eine Spiegelung durch. Die Folge ist, dass sich die Drehrichtung ändert. Lt. Drehmatrix drehst du mit Blick auf die Spitze des EVs gegen den Uhrzeigersinn. Dein ausgerechneter Winkel entspricht aber einer Drehung im Uhrzeigersinn. Lösung: Du vertauschst einfach 2. mit 3. Basisvektor.
28.04.2013, 23:28	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, was einmal Tauschen so ändern kann! dann ist alpha=1.427 oder 81,8° Basis bleibt ja (bis aufs Vertauschen) dieselbe

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