Symmetrische Gruppen

27.04.2013, 18:27

mattesjj

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Symmetrische Gruppen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ bijektiv. Zeigen Sie, dass es einen invertierbaren Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi:S_{X}\rightarrow S_{Y} \end{eqnarray*}$ so gibt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}:S_{X}\rightarrow S_{Y} \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus ist.

Meine Ideen:
Ich habe Probleme zu verstehen, was die Abbildung von einer symmetrischen Gruppe in eine symmetrische Gruppe ist. Es wäre schon hilfreich wenn mir jemand erklärt was z.B.

$\begin{eqnarray*} f:S_{3}\rightarrow S_{3} \end{eqnarray*}$ wäre

27.04.2013, 22:12

watcher

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RE: Symmetrische Gruppen
Hallo,

Zitat:

Ich habe Probleme zu verstehen, was die Abbildung von einer symmetrischen Gruppe in eine symmetrische Gruppe ist. Es wäre schon hilfreich wenn mir jemand erklärt was z.B.

$\begin{eqnarray*} f:S_{3}\rightarrow S_{3} \end{eqnarray*}$ wäre

Nichts leichter als das. Wie wärs z.B. mit f=id.

Willst du wirklich $\begin{eqnarray*} X=Y=S_3 \end{eqnarray*}$ betrachten?

Sinnvoller ist eher sowas: $\begin{eqnarray*} X=\{a,b,c\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Y=\{1,2,3,\} \end{eqnarray*}$
f(a)=1,f(b)=2,f(c)=3

Die Aufgabe ist es ein phi mit den gewünschten Eigenschaften zu basteln.

28.04.2013, 10:52

mattesjj

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RE: Symmetrische Gruppen
würde man phi als identitätsabbildung wählen, würde das dann nicht schon hinkommen?

28.04.2013, 11:49

mattesjj

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RE: Symmetrische Gruppen
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:S_{X}\rightarrow S_{Y} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X=Y={1,2,3} \end{eqnarray*}$ müsste ja so aussehen, dass ein Element von $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ wieder in $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ abbildet, also z.B.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \longmapsto \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das müsste ja z.B. eine mögliche Abbildung von S3 in S3 sein, oder verstehe ich das falsch?

28.04.2013, 12:22

watcher

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RE: Symmetrische Gruppen

Zitat:

Original von mattesjj
würde man phi als identitätsabbildung wählen, würde das dann nicht schon hinkommen?

Nur falls X=Y was im Allgemeinen nicht der Fall ist.

Was ist denn für dich genau $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ ?

Die Aufgabe zielt ja darauf ab zu zeigen dass man von sowas wie "der" $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ überhaupt erst sprechen kann (weil alle $\begin{eqnarray*} S_X \end{eqnarray*}$ für |X|=n isomorph sind.)

Das f sollte hier schon irgendwie eingebaut werden.

28.04.2013, 12:42

mattesjj

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RE: Symmetrische Gruppen
hab nur erstmal S3 genommen, um überhaupt die aufgabe zu verstehen.

Ich muss ja quasi zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} \end{eqnarray*}$ ein gruppenhomomorphismus ist, also

$\begin{eqnarray*} Sei a,b \epsilon S_{y} \end{eqnarray*}$

dann gilt : $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} (a \circ b) = \varphi^{-1} (a) \circ \varphi^{-1} (b) \end{eqnarray*}$

,aber ich hab echt keine Ahnung was meine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ damit zu tun hat

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28.04.2013, 12:48

watcher

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$\begin{eqnarray*} \varphi: S_X \to S_Y\, , \{ x \mapsto \pi(x) \} \mapsto \{y \mapsto f(\pi(f^{-1}(y))) \} \end{eqnarray*}$

28.04.2013, 13:12

mattesjj

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Ok du benutzt die bijektivität von f, damit du $\begin{eqnarray*} x=f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ setzen darfst.

Die Umkehrabbildung wäre dann jetzt ja:
$\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}: S_Y \to S_X\, , \{ y \mapsto \pi(y) \} \mapsto \{x \mapsto f(\pi(f^{-1}(x))) \} \end{eqnarray*}$

stimmt?

Aber wie finde ich jetzt ein phi ,welches diese Bedingung erfüllt?

$\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} (a \circ b) = \varphi^{-1} (a) \circ \varphi^{-1} (b) \end{eqnarray*}$

sry, stehe etwas auf dem Schlauch

28.04.2013, 15:24

watcher

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Deine Umkehrabbildung ist falsch.
zum Einen ist das nicht die Umkehrabbildung.
Du hast nur meine kopiert und x und y vertauscht.
Blöderweise funktioniert das hier nicht.

Zitat:

Aber wie finde ich jetzt ein phi ,welches diese Bedingung erfüllt?

Mehr als es dir direkt hinschreiben kann ich auch nicht.

28.04.2013, 15:34

mattesjj

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Könntest du deine Lösung vllt etwas mehr erklären, verstehe es nämlich noch nicht richtug. Das wäre super smile

smile

28.04.2013, 15:37

watcher

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Auf ein allgemeines "mehr erklären" reagiere ich nicht.
Stelle konkrete Fragen, dann kann ich auch konkret antworten.

28.04.2013, 16:00

mattesjj

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Also ich verstehe nicht genau wie du dir dein phi wählst...

phi ist ja eine Abbildung von Sx nach Sy,

Sx ist ja die Menge von permutationen der Menge X

also wird hier eine permutation abgebildet?

Aber wie ist denn die Abbildung einer Permutation, kannst du mir das mal an einem ganz konkreten Beispiel zeigen

28.04.2013, 16:08

watcher

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Zitat:

also wird hier eine permutation abgebildet?

Ja.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \varphi: S_X \to S_Y\, , \{ x \mapsto \pi(x) \} \mapsto \{y \mapsto f(\pi(f^{-1}(y))) \} \end{eqnarray*}$

Ist dir überhaupt klar was diese Notation besagt?

$\begin{eqnarray*} \{ x \mapsto \pi(x) \} \end{eqnarray*}$ steht für eine Permutation $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Wenn du ein konkretes Beispiel willst:
Nimm das X,Y,f aus meinem ersten Post in setze es in die Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein.

28.04.2013, 16:21

mattesjj

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oke danke schon mal bis hier.

und wie würde denn die richtige umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} \end{eqnarray*}$ lauten, wenn meine falsch ist?

28.04.2013, 16:29

watcher

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Wenn du meinen Vorschlägen oben folgst wirst du sehr schnell sehen wie es richtig aussehen muss.

Warum ich es nicht hinschreiben werde. Weils hier keine Komplettlösungen gibt außer der Fragesteller macht den Großteil selbst. (Hilfe zur Selbsthilfe)

28.04.2013, 19:26

mattesjj

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wäre nur nochmal nett, wenn du mir erklären könntest, wieso du auf

$\begin{eqnarray*} \varphi: S_X \to S_Y\, , \{ x \mapsto \pi(x) \} \mapsto \{y \mapsto f(\pi(f^{-1}(y))) \} \end{eqnarray*}$

und nicht auf

$\begin{eqnarray*} \varphi: S_X \to S_Y\, , \{ x \mapsto \pi(x) \} \mapsto \{y \mapsto \pi(y) \} \end{eqnarray*}$

kommst?

28.04.2013, 19:34

watcher

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Ganz einfach:
Weil das nicht definiert ist.
Wie schon mehrmals gesagt, i.A. ist $\begin{eqnarray*} X \neq Y \end{eqnarray*}$ .
Daher ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ eine Bijektion von X keine von Y.

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