Primelemente im Eisenstein Ring

28.04.2013, 14:32

Haa90

Primelemente im Eisenstein Ring

Meine Frage:
Hallo smile

ich habe eine Frage zu den Primelementen im Ring der Eisensteinschen Zahlen $\begin{eqnarray*} Z[\rho] \end{eqnarray*}$ .

Es gibt dort folgende Primelemente:

$\begin{eqnarray*} 1. \ \lambda = 1 - \rho = \sqrt(-3)*\rho² \ ist \ der \ Primteiler \ der \ 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. \ die \ Primzahlen \ q \equiv 2 \mod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3. \ die \ Elemente \ \pi \ und \ \pi' \ mit \ \pi* \pi' = p \ ,wo \ p \ eine \ Primzahl \ \equiv 1 \mod 3 \ ist. \end{eqnarray*}$
(pi' ist dabei das komplex konjugierte von pi)

Nun finde ich aber nirgendwo einen Beweis für diese Bestimmung dieser Primelemente und generell sehr wenige Informationen zu den Eistenstein-Zahlen. Habt ihr eine Idee, wo ich den Beweis finden könnte oder wie man es beweisen kann?

Liebe Grüße

Meine Ideen:
Ich habe versucht, den zweiten Fall mit einem Wiederspruchsbeweis zu lösen (ähnlich wie man es im Falle des Gauss'schen Zahlenrings zur Bestimmung der Primelemente macht), also der Annahme dass die Zahlen p kongruent zu 2 mod 3 nicht prim sind.

Da der Eisenstein-Ring ein ZPE-Ring ist, gilt: aus nicht prim folgt reduzibel. Also gilt (hoffe ich?)
$\begin{eqnarray*} \pm p = \ N(\pi) \ fuer \ ein \ Primelement \ \pi = a + b\rho, \ wobei \ N(\pi) \ die \ Norm, \ also \ \pi* \pi' \end{eqnarray*}$
laut einem Satz den man im Fall des Gauss'schen Zahlenrings heranziehen kann. Im Falle Gauss tritt dann irgendwann ein Wiederspruch aufgrund der Kongruenzen auf, aber diesen kann ich bei Eisenstein nicht finden.

28.04.2013, 14:48

hanseisenstein

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Wie trivial. Ist das nicht selbsterklärend da i^2=-1 ?

28.04.2013, 17:58

watcher

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Hallo,

der problematische Fall ist wohl zu zeigen, dass die Kategorie 2 Eisenstein-Primzahlen enthält.

Zeige: Es gibt keine Eisenstein-Zahl die eine Norm von der Form 2 hat.

Betrachte dazu die Norm modulo 3.

02.05.2013, 11:58

Haa90

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Leider hilft mir diese Antwort nicht weiter.. Was hat eine Norm von Form 2 damit zu tun?
Mir fehlen leider auch einige Grundlagen im Bereich Zahlentheorie, da ich die Vorlesung bisher nicht hören konnte, aber trotzdem ein Seminar zu Quadratischen Zahlringen belegen muss.

02.05.2013, 14:20

watcher

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Ich formulieres diese Aussage mal aus:

Zitat:

Zeige: Es gibt keine Eisenstein-Zahl die eine Norm von der Form 2 hat.

Sei $\begin{eqnarray*} a=x+y\rho \in \mathbb Z[\rho] \end{eqnarray*}$ .
Zeige: $\begin{eqnarray*} N(a) \equiv 2 \mod 3 \end{eqnarray*}$

02.05.2013, 17:13

Haa90

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Okay, danke. Aber da hänge ich leider. Ich war schon soweit für Aussage 2) zeigen zu wollen, dass die Norm einer Eisenstein-Zahl nicht kongruent zu 2 mod 3 sein kann, aber leider weiß ich nicht, warum.

Also folgende Aussage möchte ich wiederlegen:

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) \equiv \ 2 \ mod \ 3 \end{eqnarray*}$

und als Norm von alpha (alpha = a+b*rho) habe ich berechnet:

$\begin{eqnarray*} N(\alpha) = a² - ab + b² \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht, wieso das nicht kongruent zu 2 mod 3 sein kann. Ich hoffe ich habe mich beim Berechnen der Norm nicht vertan?

02.05.2013, 18:28

watcher

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Deine Norm stimmt.

Jetzt ganz stupide Fallunterscheidung modulo 3.

02.05.2013, 23:11

Haa90

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Tut mir Leid, vielleicht stehe ich gerade auf dem Schlauch, aber wie ich diese stupide Fallunterscheidung durchführe ist mir nicht klar.
Aber du meinst nicht, einfach Zahlentupel also bpsw. (0,0), (1,0), (2,0), (1,2), (2,2) und jeweils umgekehrt auszutesten oder? Denn das würde doch vermutlich als Beweis nicht reichen?

02.05.2013, 23:20

watcher

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/3 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ hat 3 Elemente, also gibt es für (a,b) 9 Möglichkeiten. Wie du richtig festgestellt hast fallen einige aus Symmetriegründen weg.

Du wirst mir doch jetzt nicht erzählen, dass du dich noch nicht mit Restklassenrechnung beschäftigt hast? Weil dann wird es Zeit.

02.05.2013, 23:37

Haa90

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Wie gesagt, ich belege dieses Seminar nicht freiwillig, da ich vorher nicht die geringste Ahnung von Zahlentheorie hatte. Ich arbeite dran Augenzwinkern

Danke für die Hilfe, dann versuch ich mal mein Glück mit dem Rest.

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