Wahrscheinlicheitsrechnung: Fischzucht

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Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlicheitsrechnung: Fischzucht
Hallo,

Zitat:
In einem Fischzuchtbetrieb wird angenommen, dass von den vorhandenen 200 Forellennur 70% einen harten Winter überleben.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 100 Tiere überleben?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 160 Tiere überleben?
c) Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt dem Sachverhalt zugrunde?
Diskutiere kurz die Gründe für die Wahl Deiner Lösungsmethode.


Ich fange mit dieser Frage an:
Zitat:
Diskutiere kurz die Gründe für die Wahl Deiner Lösungsmethode.


Zur Auswahl stehen für mich drei Methoden.
Baumdiagramm, Binomialverteilung und Normalverteilung.
Baumdigramm ist nur bis zur vierten Ebene übersichtlich.
Binomialverteilung bis zu 20 Ebenen.
Da es im Beispiel a um 100 Ebenen geht, würde ich hier die Normalverteilung nehmen. Es würde auch mit der Binomialverteilung gehen, ich müsste aber 99 Rechnungen durchführen.
Gleiches gilt für b, hier würde ich 40 Rechnungen benötigen, mit der Binomialverteilung.

c.
Zitat:
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt dem Sachverhalt zugrunde?


verwirrt
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

c.

Normale Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Zur Auswahl würden noch Baumdiagr. und Binomial. stehen, warum entscheide ich mich gegen diese?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tipso,

du schreibst:
Zitat:
Zur Auswahl würden noch Baumdiagr. und Binomial. stehen, warum entscheide ich mich gegen diese?


Gegen das Baumdiagramm entscheidest du dich, weil es keine Methode ist um rechnerisch eine Lösung herbeizuführen. Das Baumdiagramm ist aber gut zur Anschauung.

Warum du nicht über die Binomialverteilung die Lösung rechnerisch bestimmst, müsstest du eigentlich selber wissen.

Grüße.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich entscheide mich dagegen, weil es nicht mehr übersichtlich ist.
Ich müsste bei Aufgabe a. ca 100 Rechnungen durchführen.

verwirrt
Binomiales vorgehen ist bei bis zu 30 Versuchen(Ebenen) sinnvoll.

Ich verwende hier auf jeden Fall die Normalverteilung.

c.
Zitat:
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt dem Sachverhalt zugrunde?


Hier ist meine Basiswahrscheinlichkeit gesucht.

70 % von 200 also 0,7.

lg
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich entscheide mich dagegen, weil es nicht mehr übersichtlich ist.
Ich müsste bei Aufgabe a. ca 100 Rechnungen durchführen.


Das ist richtig. Es ist nicht nur zu unübersichtilich bzw. fehleranfällig, vor allem ist der Aufwand zu groß.

Was meinst du mit Basiswahrscheinlichkeit ? Ich würde es so ausdrücken:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Forelle den Winter überlebt ist für jede .
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Forelle den Winter nicht überlebt, ist

Im Urnenmodell bedeutet dies, dass man n-mal zieht, mit Zurücklegen. Es gibt nur zwei Farben, die die Kugeln annehmen können, z.B. rot oder schwarz.
Der Anteil der roten Kugeln ist dann 0,7 und der Anteil der schwarzen Kugeln ist dann 0,3.
Führt man den Versuch n-mal durch, dann ist die Wahrscheinlichkeit x rote Kugeln gezogen werden:



und

Die Binomialverteilung kann jetzt approximiert werden, wenn die Voraussetzung dafür erfüllt ist. Was ist das gängige Kriterium hierfür?

Und wie sieht die Approximationsformel aus?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Approximationsformel = p * n verwirrt
c.
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt dem Sachverhalt zugrunde?

Antwort: 0,7 bzw. 0,3 also richtig? Freude

Ich dachte, ich habe mich hier total vertan.

Leider muss ich los, da meine Schicht bald anfängt, ich werde mich ab 22 Uhr um die Fertigstellung der Aufgabe + Beantwortung der Fragen kümmern.
Danke für deine Hilfe. Freude Wink
 
 
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt dem Sachverhalt zugrunde?

Antwort: 0,7 bzw. 0,3 also richtig?


Die Wahrscheinlichkeiten stimmen. Aber ich denke es ist bei der c) eine ausführlichere Antwort verlangt. Meinen Versuch hast du ja gelesen.

Zitat:
Approximationsformel = p * n


Eher nicht. Sie ist (mit Stetigkeitskorrektur):



Schau mal in einem deiner Bücher nach, ob das auch so drin steht.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Zitat:
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt dem Sachverhalt zugrunde?


Akzeptable Antwort wäre:

Was meinst du mit Basiswahrscheinlichkeit ? Ich würde es so ausdrücken:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Forelle den Winter überlebt ist für jede
p=0,7
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Forelle den Winter nicht überlebt, ist
p= 0,3

Zitat:
Die Binomialverteilung kann jetzt approximiert werden, wenn die Voraussetzung dafür erfüllt ist. Was ist das gängige Kriterium hierfür?

Man kann nachweisen, dass Binomialverteilungen für immer größere Anzahlen von Versuchen n sich immer mehr einer Normalverteilung mit Mittelwertund annähern.

Zitat:
Und wie sieht die Approximationsformel aus?


Mittelwertund

Rechenweg:
In die Standartnomralverteilung umrechnen verwirrt
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Man kann nachweisen, dass Binomialverteilungen für immer größere Anzahlen von Versuchen n sich immer mehr einer Normalverteilung ... annähern.


Das stimmt. Es gibt dazu ein Kriterium.

Schau doch mal in einem Statistikbuch unter dem (Unter-)Kapitel "Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung" nach.

Deine Überlegungen zur Standardabweichung und Erwartungswert sind richtig. Aber auch hier würde ich im selben Kapitel noch die Formel und deren Bedeutung nachschlagen.
Die Formel an sich hatte ich ja sogar schon gepostet.

Zur c) Meine Antwort war ja durchaus ausführlicher. So wie ich die Teilaufgabe verstanden habe, soll man erstmal begründen, warum hier die Binomialverteilung Anwendung findet.
Dann geht man in der Argumentation über zur Normalverteilung, weil
1. Der Rechenaufwand zu groß ist, bei Verwendung der Binomialverteilung.
2. Die Voraussetzung für die Approximation gegeben sind.

Ich hoffe du bist nicht zu geschafft, von deiner Tätigkeit.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Bin Nebenbei am nachlesen. Freude

Diese Aufgabe will auf jeden Fall noch bearbeiten bevor Feierabend ist. Big Laugh

Zitat:
Was meinst du mit Basiswahrscheinlichkeit ?
Ich würde es so ausdrückenBig Laugh ie Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Forelle den Winter überlebt ist für jede .
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Forelle den Winter nicht überlebt, ist


p = Prozentuelle Wahrscheinlichkeit das es zutrifft, bzw. auf Erfolg, dass meite ich mit Basiswahrscheinlichkeit.

Zitat:
2. Die Voraussetzung für die Approximation gegeben sind.


Laplance Bedingung





ich verstehe hier nicht warum ich x+ 0,5 habe verwirrt
Woher oder warum + 0,5 verwirrt


Ps.
Ich werde wohl besser bis Morgen Früh eine Pause einlegen.
Danke für deine Hilfe.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso

Diese Aufgabe will auf jeden Fall noch bearbeiten bevor Feierabend ist. Big Laugh



Ps.
Ich werde wohl besser bis Morgen Früh eine Pause einlegen.


Jetzt weiß ich nicht, wann du eine Pause einlegst.

Edit: fettgedruckt.
Die 0,5 ist die Stetigkeitskorrektur. Es wird im Prinzip berücksichtigt, dass die Normalverteilung nicht, wie die diskrete Binomialverteilung, stetig ist.

Ob ihr diesen Stetigkeitskorrekturfaktor auch in der Schule verwendet, weiß ich nicht.

Ansonsten steht im Zähler die Differenz aus der Zufallsvariable x und dem Erwartungswert. Diese Differenz wird dann durch die Standardabweichung der Binomialverteilung geteilt. So wird die Zufallsvariable normiert.

Allgemein sieht eine normierte Zufallsvariable so aus:



Somit ist

Durch diese Normierung kann man den Wert in der Standardnormalverteilungstabelle nachlesen.

Wenn man und durch die entsprechenden Ausdrücke der Binomialverteilung erstetzt, dann ist es die Formel die ich gepostet hatte (ohne Stetigkeitskorrektur).

Die häufig verwendete Bedingung für die Verwendung der Normalverteilung für die Approximation () ist richtig. Freude
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid für das Missverständnis.

Ich lege eine Pause bis Morgen ein.
Ich lese mich nochmals in die Thematik ein. Freude

Die Pause sollte nach meinem letzten Beitrag gelten. Da ich hier reingeschaut habe ..

Stetigkeitskorrektur haben wir nicht gemacht, es heißt einfach, es ist eine Näherung und nicht exakt, mit der Stetigkeitskorrektur ist sie nach meiner Annahme exakt.

Der Rest ergibt nun für mich auch einen Sinn.

Zur Übersicht (Vorbereitung für den restlichen Rechenweg für Morgen):

Von Binomial zu Normalv.



von Normalv. zu Standartnormalv.



Somit ist


Was ich hier noch nicht ganz verstehe:

= die Fläche ist damit gemeint.




Warum ist ersteres X größer/Gleich und zweiteres kleiner als x verwirrt



Ich lege ab jetzt eine Pause ein und werde mich erst Morgen wieder melden. Freude
Gute Nacht. Willkommen
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip richtig. Ich hätte den Weg nur anders herum aufgeschrieben:



Dann folgt aufgrund des Satzes von Laplace und De Moivre die Approximation:



Zitat:
Warum ist ersteres X größer/Gleich und zweiteres kleiner als x


Gut aufgepasst. Edit: Wobei ich gerade sehe, dass ich nicht 100% weiß, ob ich mit meiner Deutung deiner Anmwerkung richtig gelegen habe. Jedenfalls siehst du jetzt meine Antwort. Ansonsten nochmal nachfragen. Vielleicht soviel: X ist die Zufallsvariable und x ist die konkrete Ausprägung der Zufallsvariable x.

Bei der (stetigen) Normalverteilung ist da die Einzelwahrscheinlichkeit gleich 0 ist. Ich habe es oben jetzt anders geschrieben.

Bei der (diskreten) Binomialverteilung ist es aber anders. Hier gibt es nur Wahrscheinlichkeiten für ganze, positive x, inklusive 0.
Formal:
So bedeutet z.B. . Die nächste "Stufe" nach unten von 5 ist hier also 4 und nicht 4,9998 oder ähnliches.

Während bei der Normalverteilung der Unterschied zwischen zwei nebeneinander liegenden x-Werten gleich 0 ist. Deswegen ist .

Ich wünsche dir eine gute Nacht. Wink
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich verstehe leider noch nicht ganz warum du zuerst die Formel für den Wechsel von der Normalv. in die Standartnormalv. verwendest und danach erst die Formel für den Wechsel von der Binomial in die Normalv.

Es ergibt für mich keinen Sinn.
Zitat:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 100 Tiere überleben?


mind 100 T =

n = 200
Ich habe 200 Forellen, jede Forelle ist ein Versuch.

p = 0,7 bzw. 0,3
je nachdem ob ich von Erfolg oder Misserfolg ausgehe.




Somit ist

Was ist mein x verwirrt Es ist doch ein Bereich?
Zwischen 100 und 200. verwirrt

----------------------
wozu brauche ich diese Formel noch?

Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tipso,

du schreibst:
Zitat:
Ich verstehe leider noch nicht ganz warum du zuerst die Formel für den Wechsel von der Normalv. in die Standartnormalv. verwendest und danach erst die Formel für den Wechsel von der Binomial in die Normalv.


Man will ja die Binomialverteilung durch die Standardnormalverteilung approximieren. Die Formel für die Binomialverteilung ist ja klar. Diese verwendet man nicht, da der Rechenaufwand zu groß ist.

Jetzt schaut man wie man die Standardnormalverteilung dazu verwenden kann, um die Binomialverteilung zu appoximieren.

Dazu nimmt man die Formel für die Standardnormalverteilung und setzt den Erwartungswert und die Standardabweichung der Binomialverteilung ein.

Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist

Die Standardabweichung der Binomialverteilung ist

Die Werte hast du richtig ermittelt. Freude

Heraus kommt:



Die Zufallsvariable X bleibt weiterhin binomialverteilt. Da die Binomialverteilung diskret ist, gilt

Daraus folgt:

Wenn du also für die erste Teilaufgabe ausrechnen willst, dann ergibt sich für die Rechnung:



Arbeiten mit der Standardnormalverteilungstabelle:

Jetzt gilt für negative z-Werte folgender Zusammenhang Also . Dies ist deswegen so, weil die Standardnormalverteilung symmetrisch ist.

Somit musst du erstmal bestimmen. Dieser Wert ist nicht mehr vertafelt. Welcher Wert dies dann letztenendllich ist, steht hier.

Zur b) kommen wir später.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Sie ist nicht mehr vertafelt weil sie eine sehr sehr klein oder sehr sehr groß ist.

Es ist nur bis 4 vertafelt - 0,9997 also fast 100%
Wir könnten es also als 100% auffassen.

Wenn z größer als 4,09 ist, ist es quasi 100%, unser Wert ist weit größer als 4,09. Freude
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Was ist jetzt ?

Und was ist dann letztendlich ?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist jetzt verwirrt

Und was ist dann letztendlich
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Freude

Wenn man es formal präziser aufschreiben will, kann man schreiben:







Aber vor allem im Antwortsatz kann man das Ergebnis noch relativieren:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 100 Tiere überleben geht gegen 100%. Es ist aber nicht sicher, dass mindestens 100 Tiere überleben.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es ist aber nicht sicher, dass mindestens 100 Tiere überleben.


Weil es eine Annäherung ist, da es zwar gegen 100 % geht aber eben nicht 100 % ist.
Mir der Stetigkeitskorrektur würden wir ein eindeutiges Ergebnis erhalten, nehme ich an.
Ich bin allgemein sehr verwundert über Wskrechnungen, da es für mich unvorstellbar ist, dass man Dinge so vorhersehen kann, da man ja selber den Eindruck gewinnt, es sei purer Zufall.
smile

fehlt noch

Zitat:
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 160 Tiere überleben?





Es ist auch 100 % aber näher an 100 % als a.

lg
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Gleichung stimmt nicht ganz.

Es ist

Es gilt nicht

Wenn x=160 ist, was ist dann x-1 ?

Wenn du das korrigierst, dann sieht es so aus, als ob du die Rechnung dann hinbekommst.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

159 natürlich.

mind 160 bedeutet - 160 oder mehr also 161,162 ... 200.
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist 200 - 160 = 40 verwirrt



=

Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist 200 - 160 = 40


Da kann ich mir selber nur am Kopf kratzen. Was meinst du denn damit ?

Ansonsten richtig gerechnet. Freude
Das Ergebnis weicht natürlich aus zwei Gründen ab:

1. Approximation
Die Approximation gelingt umso besser je näher die Wahrscheinlichkeit p an 0,5 liegt. Also je symmetrischer die Binomialverteilung ist. Was man zumindest sagen kann, dass mit p=0,7 die Binomialverteilung nicht symmetrisch ist.

2. Nicht Verwendung der Stetigkeitskorrektur
Du kannst es ja nochmal mit Stetigkeitskorrektur berechnen. Da müsste sich der Wert nochmal annähern.

Der exakte Wert (ohne Approximation) habe ich mir errechnen lassen.
Er beträgt
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist 200 - 160 = 40

Beim rechnen mit Binomialverteilung, würde ich hier 1 - (P(x=40)+P(x=39)+ ... + P(x=0) rechnen, ich dachte, Analog mache ich dies auch bei der Normalvert.
Ich glaube, ich habe vom Verständnis noch etwas nachzuholen in diesem Bereich.


1.
Warum ist sie richtig je symmetrischer die Binomialverteilung ist?
Beim rechnen mit Binomialvert. ist es ja egal, wie symmetrischer diese ist.

2.
Stetigkeitskorrektur - habe ich noch nie verwendet. Muss ich erneut nachlesen.

3.
Mittels Tabellenkalkulation nehme ich an.


lg
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Beim rechnen mit Binomialverteilung, würde ich hier 1 - (P(x=40)+P(x=39)+ ... + P(x=0) rechnen, ich dachte, Analog mache ich dies auch bei der Normalvert.


Bei der Normalverteilung kann man das so nicht machen. Denn . Genauso wie alle anderen Einzelwahrscheinlichkeiten.

Was aber stimmt bei der Normalverteilung

So ist bei der Approximation der Binomialverteilung durch die NV



Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Erwartungswert. Dies kann man aber nicht für die Einzelwahrscheinlichkeiten ausnutzen, da ist. Man kann bei der Normalverteilung nur Intervallwahrscheinlichkeiten berechnen. Und hier ergibt sich eben der Zusammenhang

Zitat:
1.
Warum ist sie richtig je symmetrischer die Binomialverteilung ist?
Beim rechnen mit Binomialvert. ist es ja egal, wie symmetrischer diese ist.


Weil du mit der Normalverteilung approximierst. Die ist symmetrisch. Ist auch die Binomialverteilung symmetrisch, dann ist die Approximation natürlich besser.

Zitat:
2.
Stetigkeitskorrektur - habe ich noch nie verwendet. Muss ich erneut nachlesen.


Es ist gut, wenn du allgemein das Thema noch mal vertiefst indem du das entsprechende Kapitel in einem Buch liest. Aber mit der Stetigkeitskorrektur rechnen, kannst du schon jetzt:



Zitat:
3.
Mittels Tabellenkalkulation nehme ich an.


Richtig. Die Grafik dazu habe ich angehängt. Man sieht, dass die Masse der Wahrscheinlichkeiten sehr stark in der Umgebung des Erwartungswertes konzentrieren. Deswegen auch die Ergebnisse für a) und b).

Grüße.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Freude



Verstehe es nicht bzw. kann ich nicht nachvollziehen.
Warum 80?

Genauso warum ich einfach x + 0,5 für die Stetigkeiteskorrektur rechne.





Danke für deine Hilfe.
Ich melde mich die nächsten Tage auf jeden Fall noch, wenn Fragen offen sind.
Ansonsten gibt es genügend Material im Text zum nachlernen. Big Laugh Freude
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