Untersuche auf Monotonie

28.04.2013, 17:26

Mathemaker

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Untersuche auf Monotonie

Meine Frage:
utnersuche die Folge nach (strenger) Monotonie und beweise

a) $\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{2}{3n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Folgeglieder habe ich : $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Vermutung: $\begin{eqnarray*} <a_{n}> \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend , dh. $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_{n} <0 \end{eqnarray*}$

Wie muss ich nun fortfahren, ist es bis jetzt "richtig" ?

Danke!

28.04.2013, 17:30

Tesserakt

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Angenommen,
$\begin{eqnarray*} a_{n + 1} - a_n < 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3(n + 1)} - \frac{2}{3n} < 0 \; \text{mit} \; n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Was kann man nun tun?

28.04.2013, 17:44

mathemaker

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Ich würde unten zusammenfassen, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3n+3} - \frac{2}{3n} \end{eqnarray*}$

28.04.2013, 17:46

Tesserakt

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Das Auflösen der Klammer hat uns allerdings nicht wesentlich voran gebracht in der Lösung des Problems. Versuch doch lieber, diese Ungleichung nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

28.04.2013, 17:50

mathemaker

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Da stehe ich nun auf dem Schlauch unglücklich

unglücklich

, wie soll ich nach n auflösen?

28.04.2013, 18:01

Tesserakt

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Ein leichteres Beispiel für eine Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} x + 3 > 5 \end{eqnarray*}$

Durch Subtraktion von $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten erhalten wir $\begin{eqnarray*} x > 2 \end{eqnarray*}$ und die Auflösung ist absolviert.

Betrachte man nun $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3(n + 1)} - \frac{2}{3n} < 0 \; \text{mit} \; n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Wir addieren $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3n} \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten und erhalten so
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3(n + 1)} < \frac{2}{3n} \end{eqnarray*}$ .
Anschließend bilden wir den Kehrwert auf beiden Seiten (hierbei ist zu beachten: $\begin{eqnarray*} a > b \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ - das Verhältniszeichen wird umgekehrt!)

Also
$\begin{eqnarray*} \frac{3(n + 1)}{2} > \frac{3n}{2} \end{eqnarray*}$

Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ergibt
$\begin{eqnarray*} 3(n + 1) > 3n \end{eqnarray*}$ .

Wir lösen die Klammer auf un erhalten
$\begin{eqnarray*} 3n + 3 > 3n \end{eqnarray*}$ , was zu $\begin{eqnarray*} 3 > 0 \end{eqnarray*}$ führt.

$\begin{eqnarray*} 3 > 0 \end{eqnarray*}$ ist eine wahre Aussage. Was können wir schlussfolgern?

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28.04.2013, 18:08

mathemaker

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Nun gut, habe das soweit verstanden.
Aber wieso :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3n + 3 > 3n \end{eqnarray*}$ , was zu $\begin{eqnarray*} 3 > 0 \end{eqnarray*}$ führt.

Wenn es eine wahre Aussage ist, stimmt die Vermutung und somit ist es monoton fallend?

28.04.2013, 18:14

Tesserakt

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$\begin{eqnarray*} 3n + 3 > 3n \end{eqnarray*}$

Subtrahiert man auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} 3n \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich
$\begin{eqnarray*} 3 > 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von mathemaker
Wenn es eine wahre Aussage ist, stimmt die Vermutung und somit ist es monoton fallend?

Nun, wir haben damit gezeigt, dass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} - a_n < 0 \end{eqnarray*}$ für alle Zahlen ungleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Folglich auch für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und somit ist die Vermutung richtig.

28.04.2013, 18:31

mathemaker

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$\begin{eqnarray*} a_{n} =1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Folgeglieder: 0; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Vermutung: < $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ > ist monoton steigend :

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n+1}) - (1-\frac{1}{n})>0 \end{eqnarray*}$

Auf beiden seiten + 1-1/n

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Bin mir ziemlich unsicher bis hierhin.

28.04.2013, 18:35

Tesserakt

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Versuch doch einfach mal, die Ungleichung, so wie oben geschehen, aufzulösen. smile

smile

28.04.2013, 18:43

mathemaker

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Probiere ich ja, ist das soweit richtig oder wie meinst du das jetzt ?

28.04.2013, 18:49

Tesserakt

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Soweit ist das richtig.

28.04.2013, 18:59

mathemaker

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$\begin{eqnarray*} 1-\frac{n+1}{1}< 1-\frac{n}{1} \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} 1-n+1<1-n \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} n<1-n \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

28.04.2013, 19:14

Tesserakt

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Nein, du kannst nicht aus einer Summe einfach den Kehrwert bilden, indem man die Kehrwerte der Summanden addiert!
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n + 1} > -\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ (Verhältniszeichen umkehren!) ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Nun bilde man auf beiden Seiten den Kehrwert und erhält

$\begin{eqnarray*} n + 1 > n \end{eqnarray*}$ , woraus folgt $\begin{eqnarray*} 1 > 0 \end{eqnarray*}$ .

Evtl. solltest du nochmals das Auflösen von Ungleichungen üben.

28.04.2013, 19:35

mathemaker

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$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{2n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Folgeglieder: 1; 4/3 ; 6/4 ; 8/5

Vermutung: Monoton steigend

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n+2} - \frac{2n}{n+1} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2} > n \end{eqnarray*}$

Komme dann auf 1>n

unglücklich

unglücklich

28.04.2013, 19:38

Tesserakt

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Achtung!

$\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = \frac{2(n + 1)}{n + 1 + 1} = \frac{2n + 2}{n + 2} \end{eqnarray*}$

28.04.2013, 19:42

mathemaker

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Da komme ich nach kurzer Berechnung auf n>n

28.04.2013, 19:46

Tesserakt

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Wie denn das?

Löse mal die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{2n + 2}{n + 2} - \frac{2n}{n + 1} > 0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf und zeige Schritt für Schritt, wie du vorgehst.

28.04.2013, 19:50

mathemaker

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$\begin{eqnarray*} \frac{2n + 2}{n + 2} - \frac{2n}{n + 1} > 0 \end{eqnarray*}$

oben bleibt ein n übrig 2/2 kürzt sich weg, also nur noch n.
Beim zweiten bleibt oben ein n also n/1 also -n

also

$\begin{eqnarray*} n-n>0 \end{eqnarray*}$

oder eben n>n

28.04.2013, 19:53

Tesserakt

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Es tut mir Leid, allerdings kann ich dir nicht recht folgen. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{2n + 2}{n + 2} - \frac{2n}{n + 1} > 0 \end{eqnarray*}$

Bring mal $\begin{eqnarray*} \frac{2n + 2}{n + 2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{2n}{n + 1} \end{eqnarray*}$ auf einen Nenner.

28.04.2013, 20:01

mathemaker

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Wie denn das ?

Wenn ich doch die Nenner jeweils anders multipliziere komme ich doch nie auf einen gleichen Nenner..

28.04.2013, 20:04

Tesserakt

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Zwei Brüche $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{r}{s} \end{eqnarray*}$ bringt man auf einen Nenner, indem man einen der Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen Bruches erweitert.

$\begin{eqnarray*} \frac{ps}{qs} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{qr}{qs} \end{eqnarray*}$ ergeben sich dann. Verfahre genau so bei den beiden Brüchen in unserer Ungleichung.

28.04.2013, 20:13

mathemaker

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$\begin{eqnarray*} \frac{(2n²+4n+2) - (2n² +4n)}{n²+2} \end{eqnarray*}$

so?

28.04.2013, 20:21

Tesserakt

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Nein.

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{2n + 2}{n + 2} - \frac{2n}{n + 1} = \frac{(2n + 2)(n + 1)}{(n + 1)(n + 2)} - \frac{2n(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{(2n + 2)(n + 1) - 2n(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{2}{n^2 + 3n + 2} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, du kannst dies nachvollziehen.

28.04.2013, 20:26

mathemaker

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nicht ganz, wieso einmal 2n(n+1) muss da nicht 2n(n+2) hin?

28.04.2013, 20:31

Tesserakt

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Zitat:

Original von mathemaker
nicht ganz, wieso einmal 2n(n+1) muss da nicht 2n(n+2) hin?

Das stimmt allerdings. Tut mir Leid, mein Fehler. Ich hab's korrigiert.

Unsere Ungleichung lautet also nun $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^2 + 3n + 2} > 0 \end{eqnarray*}$ .

28.04.2013, 20:38

mathemaker

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Hmm, kürzen sich die beiden zweien denn eigentlich nicht weg? Und könnte man im Nenner die p,q Formel anwenden?

28.04.2013, 20:45

Tesserakt

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Zitat:

Original von mathemaker
Hmm, kürzen sich die beiden zweien denn eigentlich nicht weg?

Aus Summen kürzen nur die...

Zitat:

Und könnte man im Nenner die p,q Formel anwenden?

Weshalb würdest du dies tun?

28.04.2013, 20:47

mathemaker

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Weil ich sonst nicht weiter wüsste ^^

28.04.2013, 20:49

Tesserakt

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Gutes Argument!

Nein, ernsthaft.
Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^2 + 3n + 2} > 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann muss wohl $\begin{eqnarray*} n^2 + 3n + 2 > 0 \end{eqnarray*}$ gelten. Diese Ungleichung ist tatsächlich mit Hilfe der PQ-Formel lösbar.

28.04.2013, 20:54

mathemaker

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Bekomme dann einmal -2 und -1 raus ?

28.04.2013, 20:55

Tesserakt

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Ganz genau.

$\begin{eqnarray*} n < -2 \vee n > - 1 \end{eqnarray*}$ .

Auch diese Aussage wird von jeder natürlichen Zahl erfüllt, da jede natürliche Zahl größer als $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ist.

28.04.2013, 20:58

mathemaker

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Warum jetzt n < -2 ?

Ich hätte jetzt -2>0 bzw -1 > 0 und das stimmt ja nicht.

28.04.2013, 21:00

Tesserakt

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Nun, die PQ-Formel liefert zwei Lösungen.

28.04.2013, 21:04

mathemaker

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Ich meine wieso steht da, anstelle der 0 jetzt ein n?
Ich hätte da jetzt -2>0 und -1>0.

28.04.2013, 21:06

Tesserakt

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Weshalb sollte dort die Null stehen? Durch die PQ-Formel isoliert man ja die Unbekannte auf eine Seite der (Un-)Gleichung.

28.04.2013, 21:31

mathemaker

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Oh man, stimmt ja.

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1-n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Folge: 0; -1/3 ; -0,5 ; -0,6

Vermutung: monoton fallend
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_{n}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-n+1}{n+1+1}-\frac{1-n}{n+1}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2-n}{n+2}-\frac{1-n}{n+1}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+2-n²-n}{n²+n+2n+2} - \frac{n-n²+2-2n}{n²+n+2n+2}<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(-n²-n+2)-(-n²-n+2)}{n²+3n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n²+3n+2} \end{eqnarray*}$ P,Q-FORMEL

$\begin{eqnarray*} -1<n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vee -2 <n \end{eqnarray*}$

??

28.04.2013, 22:19

mathemaker

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Kann mir vielleicht jemand anders, eine Rückmeldung zu meiner Lösung geben?

Danke

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