Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)

29.04.2013, 12:32

Alisea

Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe ein dickes Problem.

Und zwar muss ich irgendwie die Krümmung am Anfangspunkt einer ebenen, kubischen Bézierkurve in Bezug auf das Kontrollpolygon nachweisen.
Irgendwie fehlt mir der Schluss, wie ich durch das Dreieck, dass durch die Tangenten im Anfangs- und Endpunkt der Kurve/des Kontrollpolygons auf die Krümmung im Anfangspunkt für $\begin{eqnarray*} t = 0, t\in [0,1] \end{eqnarray*}$ (Siehe Skizze) komme.
$\begin{eqnarray*} \\ \\ f_0 =\frac{| b_1 - b_0 | }{a}\\ \\ f_1 =\frac{| b_2 - b_3 | }{b} \end{eqnarray*}$

Bin für jeden Tipp dankbar :-)

Achja und ich muss auf das Ergebnis der Krümmung $\begin{eqnarray*} K_0 = \frac{1 - f_1}{f_0^2}\frac{2sin(\alpha)sin(\alpha + \beta)^2}{3sin(\beta)^2} \end{eqnarray*}$ kommen! Nur wie :-/

Liebe Grüße, das verzweifelte *ich*

Meine Ideen:
Die beiden Tangenten (siehe Skizze) habe ich einmal mit a und einmal mit b bezeichnet: Über den Kosinussatz konnte ich diese auch schon umformen,

$\begin{eqnarray*} \\ \\ a =\frac{sin(\beta)}{sin(\alpha + \beta)}\\ \\ b =\frac{sin(\alpha)}{sin(\alpha + \beta)} \end{eqnarray*}$

aber jetzt stehe ich seit ca 3 Wochen fest, vielleicht ja nur ein Leichtsinnsfehler...keine Ahnung, hat jemand von Euch eine Idee????
Ich hab mir überlegt, ob ich die Krümmung irgendwie über die Normale im Punkt $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ berechnen könnte! Aber dazu fehlt mir im Moment noch die zündende Idee....leider :-(

Deine dauernden Pushes sind eher kontraproduktiv, denn Threads mit Anworten werden von Helfern so gut wie nicht beachtet. Bitte gedulde Dich noch ein wenig, bis sich ein Helfer mit Bezier-Erfahrung findet. Steffen

30.04.2013, 17:37

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)
Um die Sache konstruktiv anzugehen, sollte eine Beziehung zwischen der Krümmung der Bezierkurve und ihrer sonstigen Geometrie bekannt sein. Habt ihr da etwas gehabt?

Ich war nie mit Bezierkurven befasst und kann dir nur die brutale Methode anbieten: Einfach nachrechnen, ob es stimmt.
Es sei $\begin{eqnarray*} b_1 =(b_{1x}, b_{1y}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2 = (b_{2x}, b_{2y}) \end{eqnarray*}$ . Dann berechnest du die Krümmung der Bezierkurve in $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ aufgrund der Darstellung der Kurve. Ich bin dabei auf

$\begin{eqnarray*} \kappa(0)=\frac{2(b_{1x}b_{2y}-b_{1y}b_{2x})}{3(b_{1x}^2+b_{1y}^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

gekommen. Wenn man nun die ganzen Winkel und Strecken ebenfalls durch die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ ausdrückt und in die Zielformel einsetzt, kommt man - bis auf das Vorzeichen - auf dasselbe Ergebnis. Das Vorzeichen der Krümmung ist aber eh Konvention.

30.04.2013, 21:32

Alisea

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)
Vielen Danke für Deine Hilfe smile

Ich frage mich nur, wie Du auf dieses Ergebnis kommst???

01.05.2013, 08:39

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)
Weißt du, wie man die Krümmung einer ebenen Kurve aus ihrer Parameterdarstellung berechnet?

Und du hast meine Frage nicht beantwortet:

Zitat:

Original von Huggy
Um die Sache konstruktiv anzugehen, sollte eine Beziehung zwischen der Krümmung der Bezierkurve und ihrer sonstigen Geometrie bekannt sein. Habt ihr da etwas gehabt?

Daraus könnte sich ein einfacherer Weg ergeben.

01.05.2013, 11:31

Alisea

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)

Zitat:

Original von Huggy
Weißt du, wie man die Krümmung einer ebenen Kurve aus ihrer Parameterdarstellung berechnet?

Und du hast meine Frage nicht beantwortet:

Zitat:

Original von Huggy
Um die Sache konstruktiv anzugehen, sollte eine Beziehung zwischen der Krümmung der Bezierkurve und ihrer sonstigen Geometrie bekannt sein. Habt ihr da etwas gehabt?

Daraus könnte sich ein einfacherer Weg ergeben.

Ich kenne die Krümmungsformeln:

$\begin{eqnarray*} \\ \kappa = \frac {\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}}{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^\frac{3}{2}} \\ und \\ \kappa = \frac {f''(t)}{(1 + f'(t)^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Mir ist nur nicht bewusst, wie Du die Krümmung ohne Kenntnisse einer Bezierkurve berechnen konntest!?

Mit der Krümmungsformel speziell für Bezierkurven komme ich auch auf das Ergebnis, aber ich soll ja einen anderen Weg suchen, deshalb habe ich mich gefragt, wie Du darauf gekommen bist (drücke mich wohl manchmal undeutlich aus, sorry)!

Und ja, wir hatten eine Menge zu Bezierkurven, Bernsteinpolynomen, etc.

01.05.2013, 12:03

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)

Zitat:

Original von Alisea
$\begin{eqnarray*} \\ \kappa = \frac {\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}}{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Mir ist nur nicht bewusst, wie Du die Krümmung ohne Kenntnisse einer Bezierkurve berechnen konntest!?

Wie man die Bezierkurve aus dem Kontrollpolygon bestimmt, habe ich der Wiki entnommen und die Kontrollpunke waren in deiner Zeichnung angegeben. Mit obiger Formel habe ich dann die Krümmung berechnet.

Zitat:

aber ich soll ja einen anderen Weg suchen, deshalb habe ich mich gefragt, wie Du darauf gekommen bist (drücke mich wohl manchmal undeutlich aus, sorry)!

Und ja, wir hatten eine Menge zu Bezierkurven, Bernsteinpolynomen, etc.

Ob du einen anderen Weg suchen sollst, weiß ich nicht. Ich dachte nur, aus dem, was ihr über Bezierkurven gehabt hat, ergibt sich vielleicht ein schnellerer Weg.

03.05.2013, 00:41

Alisea

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)
Also nachdem ich jetzt x-Mal gerechnet habe, komme ich immer noch nicht auf Deine Lösung! Könntest Du mir bitte Deinen Weg posten?

03.05.2013, 01:14

Alisea

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)

Zitat:

Original von Alisea
Also nachdem ich jetzt x-Mal gerechnet habe, komme ich immer noch nicht auf Deine Lösung! Könntest Du mir bitte Deinen Weg posten?

Achso, ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} K_0 = \frac{2}{3}\frac{\sqrt[2]{(b_1x b_2y)^2 - 2b_1x b_2y b_2x b_1y + (b_2x b_1y)^2}}{((b_1x)^2 + (b_2y)^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 01:58

Alisea

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)
Wenn ich Dein Ergebnis als gegeben annehme (hab mich jetzt 10.000 Mal auf demselben Weg verrechnet :-( ), weiss ich trotzdem nicht, wie Du die Strecke so in Abhängigkeit umformen kannst, dass Du auf das Ergebnis kommst! Ich habe einfach das Gefühl mich nur noch im Kreis zu drehen und vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr zu sehen! Hast Du mir vielleicht in der Richtung noch einen Tipp? geschockt

03.05.2013, 09:09

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)

Zitat:

Original von Alisea
Also nachdem ich jetzt x-Mal gerechnet habe, komme ich immer noch nicht auf Deine Lösung! Könntest Du mir bitte Deinen Weg posten?

Ich bin ein wenig verwirrt, hast du doch oben geschrieben:

Zitat:

Mit der Krümmungsformel speziell für Bezierkurven komme ich auch auf das Ergebnis,

Und du kommst auch auf mein Ergebnis. Du kannst doch im Zähler die Wurzel ziehen. Unter der Wurzel steht ein vollständiges Quadrat, nur ausmultipliziert. Wobei ich mich frage, woher die Wurzel bei dir kommt? Die Ableitungen hängen linear von den Koordinaten ab. Bei normalem Rechengang taucht also die Wurzel erst gar nicht auf.

Den Weg über die Strecken und Winkel müssen wir stückweise durchgehen. Was hast du heraus für:

$\begin{eqnarray*} |b_1-b_0|, |b_2-b_3|, \sin \alpha, \sin \beta, \sin (\alpha + \beta), a, b, \delta_0, \delta_1 \end{eqnarray*}$ ?

Noch ein Hinweis zu Latex: Hoch- und Tiefstellungen, die aus mehr als einem Zeichen bestehen, muss man in geschweifte Klammern einschließen.

Neue Frage »

Antworten »

Krümmung einer ebenen Bézierkurve (Berechnung durch Kontrollpolygon)

Verwandte Themen