Gramsche Matrix

30.04.2013, 17:34	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Gramsche Matrix Hallo! Es geht mir um ein Beispiel aus der linearen Algebra, welches mir, so denke ich zumindest, einleuchtet, ich aber absolut nicht verstehe, wie man die Tatsache wirklich beweisen kann. Und zwar geht es um das Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} \mathbb K \in \lbrace \mathbb R \mathbb C \rbrace \end{eqnarray}$ . Auf $\begin{eqnarray} \mathbb K^n \end{eqnarray}$ betrachten wir das übliche innere Produkt. Seien $\begin{eqnarray} b_1,....b_m \in \mathbb K^n \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \rho(Gram(b_1,....,b_m))=dim \mathcal L(\lbrace b_1,.....b_m \rbrace ) \end{eqnarray}$ Das heisst, der Rang der Gramschen Matrix soll gleich der Dimension des Unterraums sein, welcher von $\begin{eqnarray} b_1,....,b_m \end{eqnarray}$ aufgespannt wird. Die Gramsche Matrix wird ja über die Skalarprodukte definiert. Aber, wir haben in der Vorlesung auch besprochen, dass für den Spezialfall, dass der Vektorraum der $\begin{eqnarray} \mathbb K^n \end{eqnarray}$ ist, die Gramsche Matrix durch $\begin{eqnarray} Gram=B^B \end{eqnarray}$ gebildet werden kann, wobei die Spalten von B eben die Basisvektoren des Unterraums sind. Über das Matrixprodukt weis ich weiters, dass die Spalten von $\begin{eqnarray} B^B \end{eqnarray}$ Linearkombinationen von $\begin{eqnarray} B^ \end{eqnarray*}$ sind, und die Zeilen von B. Kann ich das hier verwenden? Komme ich mit diesem Ansatz weiter? Danke im Voraus! Zweiten Beitrag hier reinkopiert und gelöscht. Steffen Habe jetzt nochmal versucht, einen Ansatz für das Beispiel zu finden, und bin darauf gestossen, dass die Zeilen von AB ja Linearkombinationen von den Zeilen von B, und die Spalten von den Spalten von A, d.h. ich hab hier wohl genau das falsche vorliegen, bzw würds andersum brauchen :S Für Anstöße wäre ich weiterhin sehr dankbar! lg

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