Vektorraum-Aufgabe

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Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum-Aufgabe
Liebe Community, ich bin ein sehr interessierter Student undwir haben neulich ein neues Themengebiet angeschnitten und zwar die Lineare Algebra.

Wir haben den Vektorraum so definiert, dass eben Operation wie Addition, Multiplikation mit Skalaren usw.. alles funktioniert.
Ein Vektorraum ist ja ein Raum mit einer Basis und aus diesen Basen lassen sich Pfeile bilen. Im R³ ist die Basis z.B. (ex, ey, ez). Oder auch:


Also ich habe hier 3 Basen und mein Vektorraum hat 3 Dimensionen.

Meine Aufgabe lautet folgende, und ich werde sie jetzt einfach mal abschreiben, weil ich mich einfach nicht traue irgendetwas zu verändern, denn dann würde es ja den Anschein machen, dass ich die Aufgabenstellung verstanden habe.
Also ich zitiere:

"Im dreidimensionalen linearen Raum, der von i, j, k aufgespannt wird, bezeichnet V die Gesamtheit aller Vektoren v = xi + yj + zk mit reellen x, y, z, für die x + z = 2y zutrifft. Es ist zu begründen, dass V einen linearen Raum darstellt, dessen Dimension ist zu berechnen und eine Basis von V ist anzugeben."

Also zu meinem Problem: Mein Problem ist schon die Angabe! Ich verstehe rein Analytisch nicht was die Beziehung x+z = 2y darstellt?? x, y, z sind ja reele Zahlen und keine Variablen laut Angabe.

Was ich weiß ist:
-)Ein beliebier Vektor im Raum V kann ich so darstellen:


Das wars aber auch schon wieder. Ich weiß gar nicht wie ich denn zeigen soll dass V ein linearer Raum ist. Hat das was mit der Beziehung x+z=2y zu tun? Und wenn ja dann wieso!!?
Ist die Dimension nicht 3? Wenn ich i j k habe dann müsste es doch ein 3D Vektorraum sein oder? Und die Basen sind doch auch definiert und zwar mit i j k . Welche Basen soll ich denn laut der letzten Frage angeben?

Ich bin wirklich hilflos, da ich mich mit mathe nie sehr gut auskenne. Ich möchte mich aber verbessern, nur ist das immer so schwer, wenn unser Professor alles immer so abstrakt macht.

Danke im VOraus!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wie in der Schule ist die Lösungsmenge von x+z=2y im mit den

Achsen x,y,z eine Ebene . Du brauchst diese nur in Parameterform zu verwandeln. Die Spannvektoren sind dann eine Basis des ( aufgespannten ) Unterraumes.
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wie in der Schule ist die Lösungsmenge von x+z=2y im mit den Achsen x,y,z eine Ebene .

JA! Das ist mir klar. Ich hätte dann also y = y(x,z) = (x+-z)/2 Ich stell mir das so vor: das y(oder auch x, oder auch z, je nachdem wie man es halt umformt) ist eben ein Punkt im Raum. Dieser ändert seinen Standort mit unterschiedlichen x, und z. Kann oder soll ich diesen Punkt als Vektor im Vektorraum V auffassen?? Also der Zeiger zeigt dann vom Ursprung auf den Punkt y. Sehe ich das richtig??
Ich muss mir das ganze vorstellen können!

Zitat:
Die Spannvektoren sind dann eine Basis des ( aufgespannten ) Unterraumes.

Könntest du das bitte näher erklären? Wir hatten bisher den Begriff Unterraum noch nicht. Und was ist ein Spannvektor?

Vielen lieben Dank für die Antwort!!!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

na ja, das ist doch alles einfacher Schulstoff.

Eine Ebene in Parameterform hat einen Stützvektor und 2 Spannvektoren



die Ebene solltest gar nicht als Funktion von 2 Variablen sehen, sondern nur als Relation

E: x-2y+z=0

wir wissen, dass es eine Ebene = linearer Raum ist = Teilmenge des Gesamtraumes --> Unterraum. Ist nur Sprachgebrauch.
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
na ja, das ist doch alles einfacher Schulstoff.

Das finde ich aber überhaupt nicht. Und ich denke ich habe meine Verständnisprobleme gut genug erläutert...

Zitat:
Eine Ebene in Parameterform hat einen Stützvektor und 2 Spannvektoren

Ok, ich wusste nicht, dass du das unter Spannvektoren verstehst.

Zitat:
die Ebene solltest gar nicht als Funktion von 2 Variablen sehen, sondern nur als Relation E: x-2y+z=0

Ehrlich gesagt sehe ich das gar nicht als Ebene sondern als Funktion F(x,y,z) = 0.
Wieso soll denn das eine Ebene sein?

Forme ich erst um auf x = x(y, z) oder z = z(x,y) dann ist die Lösungsmenge eine Ebene in x <-> y.

Zitat:
wir wissen, dass es eine Ebene = linearer Raum ist = Teilmenge des Gesamtraumes --> Unterraum. Ist nur Sprachgebrauch.

Danke für den Tipp!! Hat mir sehr geholfen, aber nicht bei meinem Problem.

Wie soll ich denn jetzt diese Gleichung betrachten? Oder besser graphisch betrachten?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

anscheinend bist du Fremdeinsteiger, das macht es mit den verwendeten Begriffen schwieriger.

F(x,y,z)=0 ist eine Fläche im R³. Wenn der Term linear ist, dann ist es eine Ebene.

man kann dann bis zu 3 expliziteFunktionen angeben, die dieselbe Ebene beschreiben.
 
 
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
anscheinend bist du Fremdeinsteiger, das macht es mit den verwendeten Begriffen schwieriger.

Ich bin kein Quereinsteiger, unser Professor glaubt nur, wir wissen alles und deswegen macht er nur mehr den Abstrakten Teil.

Zitat:
F(x,y,z)=0 ist eine Fläche im R³. Wenn der Term linear ist, dann ist es eine Ebene.

Es ist sehr interessant was du da schreibst. Ich sehe das irgendwie nicht. Wieso ist eine FUnktion F, die von den Komponenten im Raum abhängen eine Fläche wenn die FUnktion 0 ist? Welche logiscge Aussage bzw. Überlegung verbirgt sich dahinter? Ich würde es zu gern verstehen, weil vielleicht liegts ja daran...

Danke nochmal für die Hilfsversuche!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

F(x,y,z) ist ja nicht frei einer 4. Variablen zugeordnet, sondern mittels =0 geknebelt.

Schaun wir mal in den R².

y=f(x) ist normalerweise eine Kurve, wenn linear, dann eine Gerade:

y=f(x)= 2x+4, das kann man zu

-2x+y-4 = 0 umschreiben. Es bleibt dieselbe Gerade. Man könnte jetzt noch einen draufsetzen und mit

F(x,y)=-2x+4 eine neue lineare Funktion definieren, aber mittels

F(x,y)=0 ändert sich nichts.
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles verständlich. Aber wieso ist dann y = f(x,z) eine Ebene? Also angenommen x und z liegen orthogonal aufeinander und y auch. Dann beschreibt mir doch y = y(x,z) nie im Leben eine Ebene, weil das y aus x und z (also aus der x-z Ebene) erzeugt wird und deshalb in die dritte Dimension entgleist.

Wieso ist es also eine Ebene??
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Achsen stehen paarweise senkrecht.

und y=f(x,z) "entweicht" natürlich in y-Richtung. Muss es auch, denn sonst hätten wir die langweilige x-z - Ebene.

Ebenen brauchen nicht zu irgendeiner Basisebene parallel sein.
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe immer noch nicht wie ich anaetzen soll. Wie bringe ich die "Ebene" mit dem Vektorraum in verbindung?
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte ja schreiben:



Aber ist das schon die Lösung??
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habs mir gerade nochmal überlegt, und folgendes Beispiel betrachtet:


Die Frage ob das ein Vektorraum ist oder nicht ist klar! Denn 3*v = (3x, 42, 3y). Und das kann ja nicht in der Menge v = (x, 17, y) liegen da ha 42 nicht 17 ist.

ABer wie kann ich mir mein Beispiel vorstellen? Ich habe dann quasi wenn ich einsetze das hier:



Aber wie kann ich denn jetzt feststellen ob die Bedingungen Skalar mal v oder v1 + v2 die Menge erfüllen`?
Mir leuchtet das irgendwie nicht ein. Ich versuche mich da wirklich zu bemühen und zu verstehen, aber für mich ist es halt schwierig wenns mehrdimensional wird. Ich bin aber gewillt zu lernen!!
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

So, wie ich das verstehe, hat Dopap die Basis im Auge, oder?
Karl-Buche Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So, wie ich das verstehe, hat Dopap die Basis im Auge, oder?

Ich weiß nicht einmal was mir Dopap überhaupt beibringen wollte. Ich wüsste es aber gerne. Es ist blöd, dass ich nicht einmal 1 Beispiel von 10 schaffe.:PPP
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, ich habe es so verstanden, dass Dopap die Einheitsbasis im Sinn hat und dann muss man wirklich nur Folgendes tun:

Zitat:
Original von Dopap
Du brauchst diese nur in Parameterform zu verwandeln. Die Spannvektoren sind dann eine Basis des ( aufgespannten ) Unterraumes.


Daran würde ich mich halten. Augenzwinkern
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß hier werden generell keine Lösungen aufgeschrieben, aber ich weiß wirklich nicht was ihr damit meint. Ich verstehe nicht ganz welche Parameterform ihr da meint????

Manchmal kann das hier im Forum wirklich ins nichts führen.

Also meine Spannvektoren sind eben in der x-y Eben z.B. Ok.
WAS GENAU muss ich jetzt parametrisieren???
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Das Stichwort ist:

Parameterform einer Ebene!


PS. Die hat Dopap ja sogar in seinem zweiten Beitrag hingeschrieben.

Du hast die Ebene in der Koordinatenform vorliegen und musst in die Parameterform umwandeln. Dann hast Du mit den zwei Richtungsvektoren auch schon eine Basis gefunden.
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe jetzt meine Ebenengleichung, die so ausschaut:



Wie oder was parametresiere ich jetzt?
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste ich nicht für die erste Aufgabe zeigen, dass f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2) ?

Also mein f wäre ja:



Stimmt das soweit?
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätte ich nämlich folgendes, und ich glaube das ist jetzt richtig so:



Und wenn ich das ausrechne:



Und das würde so auch stimmen. Das begründet dann wohl meine linearität oder?
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh überhaupt nicht, was Du da machst...

Aber ich möchte mich hier auch nicht so sehr einmischen, denn Dopap ist hier der Helfer.

Ich sehe nicht, was Du da vorhast...

Du hast eine Ebene in Koordinatenform vorliegen, wandle es in Parameterform um, dann hast Du zwei Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen, also eine Basis.

Damit hast du einen zweidimensionalen Untervektorraum, also einen Vektorraum.
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte zeigen dass es ein linearer Vektorraum ist
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub nicht, dass Du da die Vektorraumeigenschaften nachweisen sollst, denn eine Ebene ist im Dreidimensionalen immer eine Hyperebene und als solche Vektorraum.
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab keine Ahnung von Hyperebenen. Das haben wir alles nicht gemacht. Ich muss doch zeigen, dass es ein Linearer raum ist oder?
Wie in Gottes Namen soll ich das denn sonst machen?
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht hier doch jetzt schon zig Mal.

Der Lösungsraum hier ist eine Ebene, also ein Vektorraum. Damit ist schonmal begründet, dass es sich um einen Vektorraum handelt. Dann sollst Du noch die Dimension angeben und eine Basis. Du musst die Ebene dazu in Parameterform bringen, dann hast Du u.a. zwei Richtungsvektoren, diese bilden eine Basis der Ebene. Und damit hast Du auch eine Basis, nämlich bestehend aus den beiden Richtungsvektoren.
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte das nicht so spezialisieren, sondern allgemeiner halten.
Also linearität zeigen so wie es auch richtig ist und wie es überall definiert ist. Ich interessiere mich da für keine Lösungsmengen!!

Ich brauch nicht einmal eine Parameterform. Ich will ja nur herausfinden wieviel dimensional das ganze ist. Und das muss wohl 3 sein
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso spezialisieren? Wir haben gar nichts spezialisiert.

Und wieso denn Dimension 3?

Dopap hat gleich im zweiten Beitrag gesagt, daß es sich um eine EBENE handelt, daher kann Dimension 3 gar nicht stimmen!


--Es dreht sich hier um folgende Menge:



Jetzt wähl doch mal die Einheitsbasis.
Dann hast Du da eine EBENE stehen, die in Koordnatenform gegeben ist.
Das ist noch ungünstig, besser wäre es, sie in Parameterform zu haben, weil mn dann gleich sieht, welche Vektoren diese Ebene beispielsweise aufspannen.

Dann lies dir doch mal durch, wie man von der Koordinatendarstellung in die Parameterdarstellung wechselt.
Und dann ist es das schon.
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich meine Basis als ex = (1,0,0) ey=(0,1,0) und ez = (0,0,1) ??
Karl-Bucher Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich das ganze eigentlich als Ebene sehen?
Kann ich nicht auf x, y, z umformen und in den Vektor (x,y,z) einsetzen? Davon kann ich doch dann auch die Dimension bestimmen oder? verwirrt
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst Du denn einfach auf x, y und z umformen, Du musst doch erstmal bestimmen, für welche reellen Zahlen, die Beziehung x+z=2y überhaupt hinkommt. Mit Umformen kommt man da nicht weit, oder?


Ich glaube, Dir ist nicht klar, was das hier mit der Ebene soll.
Bei dieser Gelegenheit kann ich auch nochmal i,j und k allgemein halten und nicht als Einheitsvektoren wählen; ich war wohl tatsächlich etwas zu schnell davon ausgegangen, dass der zugrunde liegende dreidmensionale Vektorraum der ist. Das muss ja aber nicht sein.


Du kannst doch die Koeffizienten x,y,z in einem Vektor packen und dann t auffassen als einen Punkt, der in einer Ebene liegt, die von zwei Richtungsvektoren aufgespannt wird.

Diese beiden Richtungsvektoren, ich nenne sie mal und musst Du nun natürlich irgendwie bestimmen, und das kannst Du am einfachsten machen, wenn Du die Koordiantenform der Ebene, in der t liegt, in Parameterform umwandelst.

Dann weißt Du, dass Du t schreiben kannst als .

Das wiederum kannst Du dann benutzen, um aus eine Schreibweise für v als Linearkombination zu ermitteln.

Als Beispiel:

Etwa ist eine Basis von V.


-----

Du hast übrigens Recht, dass man durchaus nochmal elementar zeigen sollte, daß V Untervektorraum ist und durchaus auch, dass die ermittelten tatsächlich unabhängig sind.
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