Beweis und Herleitung algebraischer Gleichung

30.04.2013, 22:50

maho12

Beweis und Herleitung algebraischer Gleichung

Meine Frage:
Hallo.

Sitze vor 2 Aufgaben und komme einfach nicht weiter (trotz ewiger Suche im Internet). Hoffe mir kann jemand helfen. Danke schonmal.

1) Beweise: Ist $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine Wurzel der reellen algeebraischen Gleichung n-ter Ordnung $\begin{eqnarray*} P(z)= \sum_{k=0}^n {a_kz^k}=0 \end{eqnarray*}$ so ist auch die konjugierte komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} \overline {z} \end{eqnarray*}$ eine Wurzel dieser Gleichung.

2) Die Punkte einer ebenen algebraischen Kurve C sind durch folgende Konstruktionsvorschrift gekennzeichnet:
Man wähle auf der x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems einen Punkt A. Der Abstand von A zum Koordinatenursprung O sei $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ . Desweiteren sei l die Lotgerade auf die x-Achse durch A. Man wähle nun einen Punkt Q auf l und konstruiere den Kreis k mit Mittelpunkt Q und $\begin{eqnarray*} A\in k \end{eqnarray*}$ . Die Punkte der Kurve C sind dann die Schnittpunkte der Geraden $\begin{eqnarray*} g:=O\vee Q \end{eqnarray*}$ mit dem Kreis k wenn Q das Lot l durchläuft.
(a) Leiten Sie eine algebr. Gleichung der Kurve C her.
(hier liegt mir eine Skizze vor: der Kreis liegt im ersten Quadr. und die Gerade steigt an. Das Lot, die x-Achse und die Gerade bilden ein kleines gleichschenkliges Dreieck)

Meine Ideen:
Also bei der ersten Aufgabe:
z=a+ib und $\begin{eqnarray*} \overline {z} =a-bi \end{eqnarray*}$ . Ich finde das logisch, dass es beides die Wurzel ist. Aber die Gleichung verwirrt mich irgendwie für den Beweis obwohl dieser bestimmt einfach ist.

Bei der zweiten Aufgabe weiß ich das $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$ , wobei r halt ein Punkt auf dem Kreis ist und damit der Radius. Bei der Aufgabe stehe ich total auf dem Schlauch.

30.04.2013, 23:25

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

1) jedes reelle Polynom ist invariant unter komplexer Konjugation, d.h. $\begin{eqnarray*} P(x)= \overline{P(x)} \end{eqnarray*}$ weil die Koeffizienten reell sind.

2) Gerade mit Kreis (festes Q) schneiden, sie wie man z.B. auch Gerade und Gerade schneidet. Dann alle Q durchlaufen.

Zitat:

komme einfach nicht weiter (trotz ewiger Suche im Internet)

Wieso sollte surfen im Internet Aufgaben lösen? Das ist wohl eher ein Prokrastinationszeichen.
Eine Lesetipp:
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Membe...le/uebungsblatt

01.05.2013, 10:23

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
1) Klingt logisch. Aber irgendwie weiß ich nicht wie man da das jetzt beweisen soll.
2) Da verstehe ich dich nicht was du meinst. (Die Gerade die durch den Punkt Q des Kireses geht, schneidet auch den Kreis an zwei weiteren Punkten. )

01.05.2013, 11:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

So etwas läßt sich oft schön mit dynamischer Geometrie darstellen. Zum Öffnen der Datei im Anhang verwende Euklid.

01.05.2013, 11:47

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir.
Also jetzt kann ich mir erstmal vorstellen wie das aussehen muss und hab die Bestätigung das ich die richtigen Punkte betrachtet habe für die Kurve. Trotzdem ist mir noch nicht ganz klar, wie die Gleichung jetzt daraus abgeleitet werden soll. Da doch die konkreten Punkte fehlen, oder?

01.05.2013, 11:56

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Für $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ machst du den Ansatz $\begin{eqnarray*} Q = (a,t) \end{eqnarray*}$ mit fest gedachtem $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ und variablem $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Der Kreis um $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x-a)^2 + (y-t)^2 = t^2 \end{eqnarray*}$

Die Gerade durch $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y = \frac{t}{a} \cdot x \end{eqnarray*}$

Jetzt berechnest du den $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Wert des Schnittpunktes von Gerade und Kreis in gewohnter Weise. Du bekommst eine Gleichung für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Es empfiehlt sich, diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ aufzulösen und dieses Ergebnis in die quadrierte Geradengleichung einzusetzen. So bekommst du einen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

01.05.2013, 12:01

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
Ich probier's mal und würde dann mal meine Lösung reinstellen.

01.05.2013, 13:56

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir nicht ganz sicher. Ich hab jetzt für
$\begin{eqnarray*} x=\frac{2ta+a^2}{a+t} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} y=\frac{2t^2a+a^2t}{a^2+at} \end{eqnarray*}$ .

01.05.2013, 16:37

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ganz falsch. Vermutlich hast du eine Summe gliedweise radiziert. Ein (scheinbar unausrottbarer) Kardinalfehler der Algebra. Da ist nichts mehr zu retten.

Durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus der Geradengleichung in die Kreisgleichung kommt man nach ein paar Umformungsschritten auf

$\begin{eqnarray*} \left( a^2 + t^2 \right) (x-a)^2 = a^2 t^2 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: Hier nicht nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sondern nach $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ auflösen. Zum weiteren Verlauf siehe meinen vorigen Beitrag.

02.05.2013, 21:57

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, hatte falsch gelesen - sorry.
Bin jetzt auch auf die Gleichung gekommen und habe versucht nach $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ umzustellen.
Ich bin mir da noch nicht ganz sicher ob das stimmt und würde gern nochmal morgen drüber gucken und mich da dann nochmal melden.

03.05.2013, 14:06

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also:
$\begin{eqnarray*} t^2=(x-a)^2 \frac{a^2}{1+a^2} \end{eqnarray*}$
Das jetzt in die quadriterte geradengelcihung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} y^2=\frac{t^2}{a^2} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2=\frac{(x-a)^2 \frac{a^2}{1+a^2}}{a^2} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2=\frac{(a^4 x^2) (x-a)^2}{1+a} \end{eqnarray*}$ .

03.05.2013, 14:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomme $\begin{eqnarray*} t^2 = \frac{a^2 (x-a)^2}{x(2a-x)} \end{eqnarray*}$ und dann mit $\begin{eqnarray*} y^2 = \frac{t^2 x^2}{a^2} \end{eqnarray*}$ weiter

$\begin{eqnarray*} x(x-a)^2 +y^2 (x-2a) = 0 \end{eqnarray*}$

Deine Umformungen enthalten wieder eine ganze Reihe Fehler. Ich weiß nicht, wo anfangen ...

03.05.2013, 15:15

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann das sein, dass das $\begin{eqnarray*} ... -(y^2(2a-x)) \end{eqnarray*}$ heißen muss?

Neue Frage »

Antworten »

Beweis und Herleitung algebraischer Gleichung

Verwandte Themen