Kommutativität einer Gruppe |
| 30.04.2013, 23:40 | fedding | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Kommutativität einer Gruppe Es sei (G,°) eine Gruppe und e das neutrale Element von G. Zeigen Sie: a) Gilt g^2 =e für alle g G, dann ist G kommutativ b) Gilt (g°h)^2 = g^2 ° h^2 c) ist die Anzahl der Elemente von G endlich und gerade, dann existiert ein von e verschiedenes Element gG mit g^2 =e Meine Ideen: so.. meine ersten ansätze bzw. fragen: a) wenn g^2 = e, dann ist ja g*g = e und g*g ist eindeutig kommutativ. b) (g°h)^2 = (g*g)°(h*h) = e°e c) die frage versteh ich nicht so ganz, gibt es jetzt zwie e's? |
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| 30.04.2013, 23:46 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo und 
,erste Frage: Was soll hier * sein? Du hast doch nur als Verknüpfung gegeben. c)Wieso sollte es zwei verschiedene e's geben? Das geht nach Definition nicht, was ihr vermutlich auch schon gezeigt habt. Es gibt schlicht ein (nicht-triviales,d.h. nicht das neutrale) Element das selbstinvers ist, sprich a) zu zeigen ist ab=ba für alle Elemente a, b aus G. Mein Tipp: von rechts a multiplizieren , von links b. |
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| 01.05.2013, 21:48 | fedding | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hallo, und danke für die schnelle antwort, zu deiner ersten frage... "*" ist ein "mal", denn ich dachte g^2=g*g... hmm.. so falsch? xD bin ich bei a) und b) in der falschen richtung? zu c)... hmm.. wie kann ich da vorgehen? ist das g^2=e <--- e also das inverse für g^2? |
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| 01.05.2013, 22:03 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja. Du hast hier kein *. Bei der der Def. von g² an die du denkst steht davor: Sei (G,*) eine Gruppe, dann ist Hier hast du aber . Also bitte Sätze nicht aus dem Kontext reißen. Hier ist .
Ich sehe in deinem ursprünglichen Posting keine Richtung. Daher kannst du auch gar nicht in der Falschen sein.
Steht die b) genau so in der Aufgabenstellung?
da e immer das Inverse zu sich ist, ist es auch das Inverse zu g^2. Aber das hilft hier nicht sonderlich viel. Gruppiere elemente und ihre Inversen zusammen (e nicht vergessen), Zeige damit, dass mind. ein Element selbst-invers sein muss. |
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| 01.05.2013, 22:59 | fedding | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
oh ja, verstehe... ist a) g^2=e => g°g=e und g°g ist kommutativ, da beide dasselbe erzeugen. b) (g°h)^2=(g°h)°(g°h)= (g°g)°(h°h)=g^2°h^2 bei c) weiß ich nicht genau, was du meinst... hmmm e°g^2°e= g°g^-1 °g°g° g^-1°g = g° e°e° g = g°g kann nur =e sein, wenn g selbstinvers ist? |
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| 01.05.2013, 23:12 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich habe bereits geschrieben wie man die a) beweisen kann. Wie soll das was du oben schreibst zeigen, dass die Gruppe kommutativ ist? Und was soll es heißen dass das Quadrat eines Elements kommutativ ist?
Bitte antworte doch mal auf meine Frage was hier die exakte Aufgabenstellung ist. In der obigen Rechnung verwendest du, dass g und h kommutieren. Ist das irgendwo gegeben?
keine Ahnung was du da rechnest und wozu? Mein Tipp meint sowas: Was kann man über die Machtigkeit der ersten beiden Mengen rechts sagen? Warum ist dann die Mächtigkeit der äußerst rechten Menge nicht Null? |
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| 01.05.2013, 23:31 | fedding | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich sollte vlt erwähnen, dass ich ne ganze zeit schwer krank war und das handgeschriebene skript eines kommilitonen nicht viel hergab.. ich hab also wirklich kaum eine vorstellung. den tipp, den du mir zeigtest war lediglich g^2 = g°g... jaaa, das hilft mir jetzt im moment nicht soviel, dass ich auf die lösung komme. ja, das steht genauso in der aufgabenstellung, natürlich ist hier g und h auch element von G und da fehlt noch, dass wenn die gleichung gilt, G kommutativ ist. ich ging davon aus, dass ich die gleichung und deren ergebnis als gegeben hinnehmen kann, da war ich wohl im irrtum. bei c) beschreibst du, dass in der menge g das neutrale element, dann viele elemente, die von e verschieden sind und mind. ein element, dass zu sich selbstinvers, aber von e verschieden ist. warum dies nicht null ist, kann ich nicht sagen, denn mir fällt zu der späten stunde kein solches element ein! xD |
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| 01.05.2013, 23:36 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aus meinem ersten Post hier:
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| 02.05.2013, 16:01 | fedding | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok gut.. a habe ich jetzt... bei b) kann ich doch (g°h)^2= (g°h)°(g°h) nehmen, nicht wahr? jett muss ich das nur so verknüpfen, damit (g°g)°(h°h)=g^2°h^2 ist, oder? wie sienht die sache für c aus? |
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| 02.05.2013, 18:26 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bei der b) hilft ein Trick der dem der a) sehr ähnlich ist.
Ich beschreibe hier gar nichts; Ich habe eine Gleichung aufgstellt, deren Gültigkeit man evtl. auh noch beweisen könnte. Noch ein Tipp dazu: Betrachte die Gleichung modulo 2. |
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| 02.05.2013, 22:02 | fedding | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja, dass man bei b ähnliches macht, wie bei a, dacht ich mir auch... hab viel rumprobiert, aber komm nicht wirklich drauf! :/ modul-rechnung hatten wir noch nicht!.. muss also auch anders gehen...nur wie? |
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| 02.05.2013, 22:07 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Modulo 2 ist hier nur eine mögliche Betrachtungsweise. Das lässt sich elementar zeigen, Hinweise hab ich schon mehrere gegeben. Eine Musterlosung werde ich hier nicht hinschreiben. |
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