Körper mit endlicher Menge |
01.05.2013, 17:18 | yakilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Körper mit endlicher Menge Sei K ein Körper, M eine endliche Menge mit |M| = m und V = Abb(M, K) = K^M der K-Vektorraum der Abbildungen von M in K. Zeigen Sie, dass dim V = m ist, idem Sie eine Basis für V finden. Meine Ideen: Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich mir nichts darunter vorstellen kann, wie man K^M verstehen soll! So etwas wie R^2 ist logisch und verständlich, aber K^{endliche Menge} nicht. Wie man eine Basis finden kann (minimales Erzeugendensystem, lineare Unabhängigkeit) ist wiederum klar, nur wie muss ich mir eine solche Abbildung vorstellen? Wird das erste Element der Menge nach K^1, das zweite nach K^2, ... und das m-te Element nach K^m abgebildet? Ich bin für jede Hilfe dankbar! |
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01.05.2013, 17:22 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Körper mit endlicher Menge
Lustigerweise ist es genau dasselbe. Eine Abbildung von M nach K können wir hinschreiben, in dem wir einfach die endlich vielen Funktionswerte (dabei ist n die Mächtigkeit der Menge) hinschreiben. Schreiben wir sie nun noch übereinander und machen ne Klammer rum, steht plötzlich da: |
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01.05.2013, 17:26 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hilft es dir, wenn man dir sagt, daß letzlich nichts anderes als ist? Statt (wodurch die Abbildung ja eindeutig festgelegt ist) schreibt man einfach und nennt das Ganze ein Tupel, hier ein Paar reeller Zahlen. |
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01.05.2013, 17:39 | yakilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, das hilft auf jeden Fall schon einmal! Verstehe ich das dann richtig, dass ich letztlich eine Abbildung von (x1, x2, ... xm) nach K^m habe? Aber auch dann ist mir noch nicht ganz klar, wie ich dazu eine Basis bestimmen soll oder was genau ich auf lineare Unabhängigkeit untersuchen kann! |
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01.05.2013, 18:05 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ist, dann ist die Menge aller Abbildungen mit . Für ist , eine Basis ist die Standardbasis. Genau so kannst du eine Basis für konstruieren. |
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01.05.2013, 18:45 | yakilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klingt einleuchtend. Ist es dann korrekt, wenn man als Basis folgendes hat: B = {b1, ..., bm} mit b1 = (a1, 0, 0, ... ) b2 = (0, a2, 0, ... ) ... bm = (0, 0, 0... am) ? Das würde doch eine Basis bilden, oder? |
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02.05.2013, 18:20 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, denn es geht um die Abbildungen von M nach K. In diesem Vektorraum liegen keine Vektoren mit Komponenten aus M. hat die Standardbasis mit den m Abbildungen von M={1,...m} nach K : . Was hindert uns daran, als Basis von zu definieren also ? |
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