Polynome, ggT

Neue Frage »

02.05.2013, 17:26	hh1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome, ggT Hiho, Beweisen Sie, dass es Polynome h1,h2 $\begin{eqnarray} \in K[X] \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} h1f +h2g~=~ggT(f,g) \end{eqnarray}$ . Hab mir das mal grob ausgeschrieben, also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n h_1a_iX^i + \sum\limits_{k=1}^l h_2b_kX^k ~=~ggT(f,g) \end{eqnarray}$ Jetzt fehlt mir aber irgendwie die Idee, gibt es $\begin{eqnarray} h_1,h_2 \end{eqnarray}$ sodass es für alle $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ erfüllt ist?
02.05.2013, 17:37	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome, ggT Das hat mit Polynomen nur am Rande zu tun, sondern gilt - mutatis mutandis - bereits in jedem Euklidischen Ring... Stichwort dazu: Erweiterter Euklidischer Algorithmus...
02.05.2013, 18:27	hh1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, den erweiterten Euklidischen Algorithmus habe ich mir jetzt mal angeschaut, kann ihn allerdings nicht wirklich anwenden, da ich ja allgemeine Polynome $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ habe, über die ich nichts weiß. Gibts noch eine andere Möglichkeit obiges zu zeigen?
02.05.2013, 19:09	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt für Polynome, wenn der Koeffizientenring ein Körper ist, was ich in deinem Fall annehme, auch wenn du das nicht erwähnst, eine "Division mit Rest" und das ist auch schon alles was man hier braucht...
05.05.2013, 11:28	hh1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht wie ich "Division mit Rest" auf allgemeine Polynome anwenden soll, das könnte ja alles mögliche sein und ich könnte das unendlich lange fortsetzen. Wie soll ich da anfangen?
05.05.2013, 12:47	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Oje, das erinnert mich an meinen ersten Reitausflug, an dem ich als Student teilnahm, obwohl ich vorher noch nie auf einem Pferd gesessen hatte. Glücklicherweise hat wenigstens das Pferd, nach dem es mich abgeworfen hatte, allein nachhause gefunden... Traurig, aber wahr: Diese Aufgabe ist schlicht und einfach unlösbar, wenn dir "Polynomdivision mit Rest" so gar nichts sagt...
Anzeige

05.05.2013, 12:50	hh1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz so ist es ja nun nicht hätte ich Polynome der Form $\begin{eqnarray} x^2 +7x +2 \end{eqnarray}$ etc. wäre das kein Problem, nur weiß ich nicht wie ich allgemein da ran gehen soll.... Im Übrigen, selbst wenn mir das überhaupt nichts sagt, dann schaffst du es doch bestimmt dennoch für die Erleuchtung zu sorgen, ohne Anekdoten deiner jüngeren Jahre zu schildern
05.05.2013, 13:02	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte noch ein Trumpf im Ärmel, wie man hier vielleicht noch zum Ziel kommt: Sagt dir der Begriff Hauptidealring etwas? Die Aussage gilt ja bekanntlich auch in der schwächeren Struktur des Hauptidealrings und ist da lustigerweise sogar leichter zu zeigen. Mit "leichter" meine ich hier konkret: Zumindest ist der Beweis nicht so algorithmisch (genau das scheint dir ja Probleme zu bereiten) wie beim euklidischen Ring.
05.05.2013, 13:08	hh1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Der sagt mir was, ja. Genau darum gehts in einem nicht weit entfernten Thread hier, ich werd meine Zellen mal dahingehend anstrengen wie ich das auf dieses Problem beziehen kann. Über meine Kenntnislücken bezüglich der Polynomdivision würd ich aber auch gerne noch aufgeklärt werden, falls möglich
05.05.2013, 13:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, dass du Kenntnislücken bei der Polynomdivision hast, ich glaube einfach nur, dass du Probleme hast, die Idee des erweiterten euklidischen Algorithmus zu benutzen, um die Aussage zu zeigen. Du solltest dabei ja nicht konkret rechnen. Dass es sich hier um Polynome handelt, ist ja völlig egal. Eigentlich sollte dir der selbe Beweis ja in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ (Lemma von Bezout) schon begegnet sein. Bist du damit einverstanden, dass wir den Beweis mit dem Begriff des Hauptidealrings führen? (Sofern du schon weißt, dass $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ einer ist)? Warum der erweiterte eukl. Algorithmus genau solche zwei gesuchte Elemente $\begin{eqnarray} h_1,h_2 \end{eqnarray}$ ausspuckt, steht sowieso auf jeder zweiten Seite im Internet Das kannst du überall nachlesen.
05.05.2013, 13:31	hh1234	Auf diesen Beitrag antworten »
So wirds wohl sein. Lemma von Bezout hatten wir noch nicht, allerdings werd ich mir das jetzt mal anschauen. Sieht vielversprechend aus, falls es dann immernoch nicht klappt versuch ichs nochmal mit dem Hauptidealring und schreib hier dann nochmal. Erstmal Danke

Neue Frage »

Antworten »

Polynome, ggT

Verwandte Themen