Komplexe Zahlen

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Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Zeigen sie, dass die folgende Vorschrift eine Abbildung \{-1} -> \{-1} definiert.
Weiter untersuchen Sie auf Injektivität und Surjektivität und zeigen Sie, dass f ° f = id gilt

Das die Definitionsmenge nicht für -1 definiert ist, sieht man ja am Nenner, der bei -1 Null wird. Bei der Wertemenge, prüft man das doch über die Umkehrfunktion und sieht dann, dass auch dort -1 nicht definiert ist, oder?

Aber bei der Injektivität und Surjektivität und dem f ° f komme ich nicht weiter. Kann mir hier jemand helfen?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Spontan kann ich dir nur bei f°f helfen. Du sollst zeigen, dass ist. Einfach einsetzen und umformen. Geht in einer Zeile Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen
Zitat:
Original von Shadow86
Bei der Wertemenge, prüft man das doch über die Umkehrfunktion und sieht dann, dass auch dort -1 nicht definiert ist, oder?

Mit Einschränkung ja. Um von einer Umkehrfunktion reden zu können, muß man erstmal zeigen, daß es eine gibt, und dazu braucht man den nachweis der Injektivität. Anders gesagt: eine Wertemenge hat jede Funktion. Dazu muß sie nicht zwingend injektiv sein. Im Grunde muß man zeigen, daß alle komplexen Zahlen außer -1 Bilder der Funktion sind.

Dazu setzt man und löst das nach z auf. Wenn das eindeutig möglich ist, hat man auch die Injektivität. Augenzwinkern
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen
Zitat:
Original von klarsoweit
Um von einer Umkehrfunktion reden zu können, muß man erstmal zeigen, daß es eine gibt, und dazu braucht man den nachweis der Injektivität.


Reicht es eigentlich zu zeigen, dass ist? Dann hat man ja gezeigt, dass f auf ihrem Definitionsbereich Umkehrfunktion zu sich selbst ist.
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen
Zitat:
Original von klarsoweit
Dazu setzt man und löst das nach z auf. Wenn das eindeutig möglich ist, hat man auch die Injektivität. Augenzwinkern


Moment, Injektivität prüft man doch indem man setzt und prüft, ob dann ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen
Das ist äquivalent zur Aussage, daß es zu einem Bild maximal nur ein Urbild gibt. Und das wiederum ist der Fall, wenn man eindeutig nach z auflösen kann.
 
 
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen
Wahrscheinlich hab ich das auch irgendwo in meinen Aufzeichnungen stehen, finde es aber grad nicht mehr. Aber klingt logisch. Ich hab aber was anderes passendes gefunden: Wenn f bijektiv ist (also injektiv und surjektiv), dann existiert eine Umkehrfunktion , sodass gilt: ° .
Da in meinem Beispiel f ° f = id ist die Umkehrfunktion gleich der Funktion und damit ist die Funktion bijektiv und damit auch injektiv. smile

Dann bräuchte ich die Injektivität und Surjektivität nicht mehr extra zu zeigen, oder?

Ich hab das nämlich mit dem Ansatz probiert und dann folgendes rausgekriegt:








So dann gibt es zwei Möglichkeiten:
Fall 1: => injektiv

Fall 2: dann kann ich durch teilen und erhalte -1 = 1, was eine falsche Aussage ist. Damit kann nur Fall 1 eintreten und die Funktion ist injektiv smile

Nur bei Surjektivität hab ich keine Ahnung, wenn man das durch die Umkehrfunktion schon so schreiben kann, wie ich es oben geschrieben hab, bräuchte ich die Surjektivität vielleciht nicht extra zu zeigen, bin mir aber nicht sicher.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Also dein Beweis zur Injektivität passt.
Zitat:
Original von Shadow86
Da in meinem Beispiel f ° f = id ist die Umkehrfunktion gleich der Funktion und damit ist die Funktion bijektiv und damit auch injektiv.

Aus der Bijektivität folgt nicht nur Injektivität, sondern auch die Surjektivät.
Damit wäre
Zitat:
Original von Shadow86
Nur bei Surjektivität hab ich keine Ahnung, wenn man das durch die Umkehrfunktion schon so schreiben kann, wie ich es oben geschrieben hab, bräuchte ich die Surjektivität vielleciht nicht extra zu zeigen, bin mir aber nicht sicher.

auch gelöst Augenzwinkern
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

kann man die Surjektivität trotzdem auch anders zeigen, wäre nämlich allgemein vllt. hilfreich?
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

ja kann man mit der existenz einer rechtsinversen:
f(x) = y, falls eine rechtsinverse existiert heißt das es gibt eine funktion g so dass gilt g(y) = x, dann folgt f(g(y)) = y also surjektiv.
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber genau das hab ich im Prinzip doch gemacht, als ich f ° f verknüpft habe (siehe oben). Ich sollte zeigen, dass f ° f = id ist, woraus folgt, dass f zu sich selbst die Umkehrfunktion ist, also das Inverse. Und wenn ich das gezeigt habe, folgt, dass f bijektiv ist und damit injektiv und surjektiv. Aber man kann Surjektivität doch auch noch anders zeigen, oder nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Surjektivität heißt doch, daß es zu jedem y in der Bildmenge ein x aus der Urbildmenge gibt mit f(x) = y. Anders gesagt: zu einem beliebigen y muß man ein x finden mit f(x) = y. Wenn sich diese Gleichung nach x auflösen läßt, hast du das entsprechende x gefunden.
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab da noch eine Frage: Laut dem was ihr oben geschrieben habt, ist es ganz allgemein so, wenn eine Umkehrfunktion existiert, dann ist die Funktion injektiv und surjektiv.
Jetzt folgende Überlegung:
Wenn nämlich eine Funktion nicht injektiv ist, gibt es keine Umkehrfunktion und damit ist sie auch nicht surjektiv oder andersherum, aber dann kann es gar keine Funktion geben, die nur injektiv oder surjektiv ist. Also etweder alles oder gar nichts und das kann doch auch nicht sein!?
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

die aussage injektiv => surjektiv gilt nur für endomorphismen

edit: bzw injektiv <=> surjektiv
beachte, ich habe von einer linksinversen gesprochen. nur für quadratische matrizen (die endomorphismen beschreiben) gilt linksinverse = rechtsinverse = inverse
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist es für die Injektivität besser, wenn man den Ansatz f(x1)=f(x2) macht?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shadow86
Also ist es für die Injektivität besser, wenn man den Ansatz f(x1)=f(x2) macht?

Naja, den machst du doch sowieso. Auch wenn du schon weißt, dass es eine Umkehrfunktion g gibt. Dann wendest du g einfach auf die Gleichung an und hast x1 = x2. Fertig.
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