Vektoren - Lagebeziehung(Geraden)

03.05.2013, 00:41

Tipso

Vektoren - Lagebeziehung(Geraden)

Hallo,

Beurteilen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden:

g: durch $\begin{eqnarray*} A(4| 3| 1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(-2| 3| 4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2 : X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ermitteln Sie gegebenenfalls auch Schnittpunkte, Schnittwinkel oder Abstand.

Unterschied $\begin{eqnarray*} g : \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g = \end{eqnarray*}$
Warum ist zweiteres falsch? verwirrt

Vorgehen:

Zuerst erstelle ich die erste Gerade.
Danach fange ich mit meinen Überprüfungen an:

Erstellung von Gerade aus zwei Punkten:
Einen Punkt als Stützvektor nehmen und mittels Spitze - Schaft Regel einen Richtungsvec. aus den zwei Punkten erstellen.
Stützvec. + Parameter * Richtungsvec. = Gerade.

$\begin{eqnarray*} g_1 = : X = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zwei Geraden im R^3 können parallel, ident, schneidend oder windschief zueinander stehen.

schneidend - gibt es einen Winkel und bei windschief einen Abstand. verwirrt

Soweit alles richtig?

lg

03.05.2013, 01:27

opi

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g: kündigt eine Geradengleichung an, die dann mit $\begin{eqnarray*} X= \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} \vec x= \end{eqnarray*}$ beginnt und alle Punkte der Geraden darstellt.

Bei Deiner Geradengleichung hast Du einen Schreibfehler beim Stützvektor. Der Richtungsvektor stimmt, ebenso das allgemeine Vorgehen.

Auch echt parallele (parallel und nicht identisch) Geraden besitzen einen Abstand.

03.05.2013, 01:36

Tipso

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Zitat:

[quote]Original von opig: kündigt eine Geradengleichung an, die dann mit $\begin{eqnarray*} X= \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} \vec x= \end{eqnarray*}$ beginnt und alle Punkte der Geraden darstellt.

Achso

g =

Gibt an, was g ist. Ist ja demnach auch richtig? verwirrt

Zitat:

Bei Deiner Geradengleichung hast Du einen Schreibfehler beim Stützvektor.

gefunden.

$\begin{eqnarray*} g_1 = : X = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Auch echt parallele (parallel und nicht identisch) Geraden besitzen einen Abstand.

Weiteres Vorgehen:

a.
Ich überprüfe ob die Geraden parallel oder ident sind indem ich überprüfe ob deren Richtungsvec. ein vielfaches voneinander sind.
b.
Daraufhin prüfe ich ob ein Punkt der einen Geraden in der anderen Geraden liegt.
Dies mache ich, indem ich einen Punkt der einen Geraden mit der anderen Geraden gleichsetze, der daraus resultierende Parameter muss in allen 3 koordinatachsen gleich sein. verwirrt

Daraus lässt sich erschließen ob die Geraden parallel sind bzw. parallel + ident.

parallel - a. ja, b. nein.
ident - a. ja, b. ja.

lg

03.05.2013, 01:58

opi

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Zitat:

g =

Gibt an, was g ist. Ist ja demnach auch richtig?

Nein. Sonst würde eine Punktprobe auf $\begin{eqnarray*} g = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hinauslaufen, was unsinnig ist und nicht lösbar wäre.

Das Vorgehen bei b) hängt natürlich davon ab, wie die Prüfung von a) ausgegangen ist. Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, mußt Du die Geradengleichungen gleichsetzen und das Gleichungssystem lösen.

03.05.2013, 02:08

Tipso

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RE: Vektoren - Lagebeziehung(Geraden)
Verstehe ich nicht.

$\begin{eqnarray*} g_1 = X = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gibt ja eigentlich dasselbe an wie

$\begin{eqnarray*} g_1 : X = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also müsste beides richtig sein, ist es aber nicht ..

--------------

Zitat:

Das Vorgehen bei b) hängt natürlich davon ab, wie die Prüfung von a) ausgegangen ist. Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, mußt Du die Geradengleichungen gleichsetzen und das Gleichungssystem lösen.

Habe ich vergessen.
Wenn a. negativ(richtungsvec. sind nicht vielfaches voneinander) dann setze ich beide Gleichungen gleich.

Ich brauche dabei ein richtiges Ergebnis, ansonsten weiß ich, dass die Geraden windschief sind.

Bei windschiefen Geraden lässt sich ein Abstand berechnen und ein Winkel.
Der Winkel existiert nicht.

lg

03.05.2013, 02:21

opi

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Nur die zweite Fassung ist richtig.

X= [hier steht das Parameter- und Vektorenzeugs ]
gibt an, daß für jeden der unendlich vorhandenen Werte des Parameters jeweils ein Punkt existiert.

g=X bedeutet, daß die Gerade aus einem allgemeinen Punkt besteht. geschockt

Zitat:

Bei windschiefen Geraden lässt sich ein Abstand berechnen und ein Winkel.
Der Winkel existiert nicht.

Ja. Bei windschiefen Geraden existiert kein Schnittwinkel, obwohl man den Winkel zwischen den Richtungsvektoren berechnen könnte.

03.05.2013, 02:46

Tipso

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Habe es diesmal verstanden.

g = X bezieht sich nur auf X wobei g : sich auf alles bezieht. Freude

.........................................

Dann will ich versuchen die Aufgabe auch zu rechnen, bevor es ins Bett geht.
Wichtig: Richtige bzw. genaue Notation.

$\begin{eqnarray*} g_1 : X = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2 : X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Parallelität

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}= g\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6 = -1g = g = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = -g = g = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 = 2g = g = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

da ich verschiedene parameter habe, sind die Geraden auf jeden Fall nicht parallel.
Damit schließe ich parallelität und identität aus.

Ich setze die Geraden gleich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und erhalte ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten.

(i) $\begin{eqnarray*} 4 -6t = 1 - s \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} 3 = 2 - s \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} 1 + 3t = 4 + 2s \end{eqnarray*}$
...............................

aus (ii) erhalte ich s.
dies eingesetzt in (i) ergibt t
beide in (iii) muss ein richtiges Ergebnis bringen, ansonsten habe ich entweder einen Rechenwfehler oder keine Schnittgerade.

(ii)
$\begin{eqnarray*} s = - 1 \end{eqnarray*}$

(i)
$\begin{eqnarray*} 4- 6t = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

(iii)

$\begin{eqnarray*} 1 + 3\frac{1}{3} = 4 - 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 = 2 \end{eqnarray*}$

Ich habe einen Schnittp.
Um den Schnittp. zu erhalten, setze ich den jeweiligen Parameter (die Lösung für diesen) in die jeweilige Geradengleichung.

Bei einem Schnittp. zwischen zwei Geraden gibt es zwar keinen Abstand, da dieser am nahesten Punkt 0 ist. (Schnittp.) aber einen Schnittwinkel.

ps.
Mögliche Fehler werde ich Morgen ausbessern. Freude

Gute Nacht.
Danke für deine Hilfe.

03.05.2013, 02:58

Tipso

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Schnittwinkel der Geraden

Dafür berechne ich den Winkel zwischen den beiden Richtungsvec. der Geraden, dieser ist auch dier Schnittw. zwischen den Geraden.

Dies berechnet man nach dieser Formel.

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{\vec r_1 \times \vec r_2}{| \vec r_1 | | \vec r_2 | } \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht genau um was für eine Formel es sich hier handelt. Woher sie hergeleitet ist.
Es handelt sich aber um das Skalare Produkt der beiden Richtungsvec. dividiert durch die Beträge des Normierten Richtungsvec.

$\begin{eqnarray*} cos\alpha =\frac{\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}}{{| \sqrt{(-6)^2 + 3^2} | |\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} | }} =\frac{6+6}{16,43}= 0,74 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^{-1}\alpha = \alpha = 43,09° \end{eqnarray*}$

Beträgt der Schnittwinke. Wäre dieser größer als 90° würde ich es von 180° abziehen, da ich dann den größeren von den beiden Winkeln berechnet habe.
Warum dies vorkommt wäre interessant.

G8

03.05.2013, 03:14

opi

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Wenn Du die Werte der Parameter in die zugehörigen Geradengleichungen einsetzt, wirst Du S(2|3|2) erhalten. (Bitte kontrollieren!)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -6 = -1g = g = 6 \end{eqnarray*}$

Das darfst Du so nicht schreiben. In dieser Gleichungskette wäre -6 = 6. geschockt

Besser: Entweder eine neue Zeile oder einen Rechtspfeil verwenden.
$\begin{eqnarray*} -6 = -1g \Rightarrow g = 6 \end{eqnarray*}$

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Ah, Du hast noch einen Beitrag zum Schnittwinkel erstellt. Der Winkel ist richtig, die Schreibweise nicht.

$\begin{eqnarray*} \alpha \approx \arccos (0{,}74) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha \approx 43{,}09° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ ist das Zeichen für das Kreuzprodukt, in der Formel wird das Skalarprodukt verwendet. Nutze dafür einen normalen Malpunkt, in Latex mit \cdot darstellbar.

03.05.2013, 14:35

Tipso

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S(2|3|2)

passt.

Den Rest habe ich verstanden, bis auf:

$\begin{eqnarray*} \alpha \approx \arccos (0{,}74) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha \approx 43{,}09° \end{eqnarray*}$

wird doch auch mit $\begin{eqnarray*} cos^{-1} \end{eqnarray*}$ angegeben, sogar auf meinem Taschenrechner steht dies so. verwirrt

03.05.2013, 20:00

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso

wird doch auch mit $\begin{eqnarray*} cos^{-1} \end{eqnarray*}$ angegeben, sogar auf meinem Taschenrechner steht dies so. verwirrt

das hatten wir schon mal diskutiert. $\begin{eqnarray*} \arccos(x) \end{eqnarray*}$ ist die mathematische Schreibweise =
arcus ( der Bogen ) dessen cosinus x ist.

Etwas lax werden Umkehrfunktionen auch gelegentlich mit einem hochgestellten -1 symbolisiert, obwohl strenggenommen das Inverse gemeint ist.

streng: $\begin{eqnarray*} \cos^{-1}(x) = (\cos(x))^{-1}= \frac {1}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

lax: $\begin{eqnarray*} \cos^{-1}(x) =\arccos(x) \end{eqnarray*}$

auf meinem Taschenrechner steht dafür übrigens acos

03.05.2013, 21:10

Tipso

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Danke.

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