einfache Gruppe unendlicher Ordnung, Untergruppe, Index

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
einfache Gruppe unendlicher Ordnung, Untergruppe, Index
Meine Frage:
Hallo Leute, ich soll folgendes zeigen, hab aber noch keinen Ansatz:

und G einfach, so hat G keine Untergruppe mit

Was ich weiß:

da G einfach ist, sind 1 und G selber die einzigen Normalteiler. Die Mächtigkeit von ist die Anzahl der Linksnebenklassen die es gibt.

Meine Ideen:
Also ich muss ja gewiss einen Widerspruchbeweis führen oder?

Danke für die Hilfe
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

G operiert of G/U (Menge der (Links-)Nebenklassen),
das induziert einen Homomorphismus , n ist der Index.

Der Kern ist einfach zu bestimmen und er liegt in U (!)
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also in sind ja die Linksnebenklasse, also Elemente der Form:
Ich kann mir nur die naheliegende Abbildung:




überlegen. Wie komme ich jetzt auf einen Homomorphismus von ?
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff (Gruppen-)Operation ist bekannt?
Wenn nicht: nachschauen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

bekannt ja, wirklich verinnerlicht habe ich ihn vielleicht noch nicht.

Die Abbildung ist ja ein Homom. Und und das ist mir auch beides klar.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Abbildung ist keine Gruppenoperation und hat mit der Aufgabe gar nichts zu tun.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Okay neuer Versuch. Also




und


wobei durch die Abbildung festgelegt wurde.

besser?

Von muss man jetzt den Kern betrachten?

Es gilt ja dann:
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab im Skript ein gutes Beispiel dafür gefunden:

Ich weiß jetzt, dass eine Teilmenge von U ist und dass dieser Kern ein Normalteiler von G ist.

Ist das jetzt ein Widerspruch zur Vorraussetzung, dass die Gruppe einfach ist??

Ich seh noch nicht, wo das hinführen soll unglücklich
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Richtige Erkenntnis.
Ein Widerspruch ist da noch nicht, einfache Gruppen haben Normalteiler.
Für den Rest verweise ich auf meinen ersten Post.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

ja einfache Gruppen haben Normalteiler, aber ja nur die 1 und die Gruppe selber..

Wenn der Index [G:U ]endlich wäre, dann gäbe es ja nur z.B. n-viele Elemente in G/U.

Ich habe aber nur einen Homomorphis, von G nach X = G/U, dann weiß ich ja noch nicht, dass auch G/U unendlich viele Elemente hat, ich weiß ja nicht, dass es eine Isomorphismus ist.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich weiß, dass es in U noch einen Normalteiler gibt, dann muss dieser Normalteiler entweder die 1-Untergruppe sein oder G selber, denn da G einfach ist, sind das die einzigen Normalteiler.

Wie baue ich diesen Widerspruch, ich brauche da echt noch etwas Hilfe!

Wenn ich mal Annehme, der Index sei endlich. Dann hat die Menge n Elemente und die Menge ,diese lässt ja die Linksnebenklassen kommutieren, hätte dann n! Elemente.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was ist denn nun der Kern?

Es gibt ja nur 2 Möglichkeiten: oder .

Du musst jetzt mal aufhören um den heißen Brei herzumzureden, sondern dich entscheiden. (natürlich basierend auf logischen Schlüssen)
Crossposting Auf diesen Beitrag antworten »

Crosspost!

Siehet auf dem Matheplaneten...
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

@crossposting:
Liked for "siehet".
Erstmal der Link: http://www.matheplanet.com/matheplanet/n...hp?topic=181243

Zweitens stimme ich mit Martin_infinite überein, dass das hier kein Crosspost ist (wer sich meine Historie hier ansieht wird feststellen, dass ich Crossposts verabscheuungswürdige).
Ich bin mir ziemlich sicher, dass hier schlicht zwei Leute aus der selben Vorlesung ähnliche Probleme haben.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zu der selben Erkenntnis wie watcher sind wir (das Moderatorenteam) auch gekommen, daher läuft der Thread hier jetzt hoffentlich normal weiter.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Oh hier hat sich ja viel getan während meiner Abwesenheit. Also ich versichere hiermit noch ein Mal, dass ich noch nie etwas auf einer anderen Seite gepostet habe Wink

Also noch mal zur Aufgabe:

Sei eine einfache Gruppe und dann ist zu zeigen, dass es keine Untergruppe mit gibt.

Beweis:

Durch mit wird ein Gruppenhomom. definiert, dessen Kern ein Normalteiler von ist. Da einfach ist kommen dafür nur und in Frage.

Annahme es gäbe eine Untergruppe mit Dann gibt es Nebenklassen und

Fall1:
Sei dann ist injektiv. Da es aber in unendlich viele Elemente hat und in nur viele, kann nicht injektiv sein.

Fall2: (???)
Sei

Was ist denn: bei unendlichen Menge? Wäre die Menge endlich, dann wäre ja , und ich hätte einen Widerspruch, da angenommen wurde.
Es wird aber wohl oder rauskommen, also in jedem Falle ein Widerspruch.

Also kann keine Untergruppe mit endlichem Index größer als 1 haben.

Danke für die Mühe
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Trivialerweise gilt immer .

Aber für den 2. Fall fehlt trotzdem noch die Folgerung, dass aus auch sofort folgt. Ist dir das klar und du hast es deswegen gar nicht mal erwähnt?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, dies wäre dann klar, deshalb habe ich ja überhaupt erst: und nicht mehr geschrieben.

Aber dann habe ich ja jetzt endlich meinen Widerspruch, da laut immer (also auch für unendliche Gruppen) gilt und ich ja: gefordert hatte.

smile
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