Höhendifferenz Kreisbogensegment

03.05.2013, 15:15

dignitas

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Höhendifferenz Kreisbogensegment

Über ein Kreisbogensegment möchte ich eine Höhendifferenz bestimmen vom Segmentanfang zum Segmentende. bekannte Größen sind hierbei

1. Die Länge b des Bogenstücks
2. Die Steigung m1 im Ausgangspunkt und
3. Die Steigung m2 im Endpunkt

Gesucht ist demnach (siehe Skizze) die Höhendifferenz delta_h. Zur Hilfe möchte ich den Bogenwinkel und den Radius nehmen.

Mit den Werten m1=0, m2=2 und der Bogenlänge b=20m komme ich allerdings auf eine Differenz von gut 3m, und dies ist absolut unplausibel. Die Daten entstammen einer Eisenbahnstrecke und diese Steigung ist deutlich zu hoch für Eisenbahnen.

Ich habe mir auch noch ein Minimalbeispiel in Excel erstellt und dies Stück für Stück audgedröselt, aber irgendwie passt's nicht. Ist meine Rechnung falsch?

03.05.2013, 15:27

10001000Nick1

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Du kannst in dem Dreieck die fehlenden Winkel und damit dann die fehlenden Seiten berechnen (die rote und die grüne). Die Differenz aus R und der roten Seite ist dann delta h.
[attach]29887[/attach]

04.05.2013, 07:28

Bürgi

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RE: Höhendifferenz Kreisbogensegment
Guten Morgen,

nur eine Nachfrage: Ich vemute, dass der Wert für $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ nicht stimmen kann.

Bei $\begin{eqnarray*} m_2=2 \end{eqnarray*}$ liegt der dazugehörende Cosinus bei ca. 0,5, d.h., $\begin{eqnarray*} \Delta h \approx \frac12 R \end{eqnarray*}$

Könnte es sein, dass der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in Grad gemessen wird?

04.05.2013, 13:25

dignitas

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Hallo,

m2 scheint in der Tat falsch zu sein, der Winkel erschien mir auch viel zu groß. Mit etwas Recherche bzw. Aufarbeitung des Datensatzes liegt die Vermutung Nahe,
dass die Tangentensteigung in Promille angegeben ist, was bei der Eisenbahn eine übliche Größenordnung ist (offtopic: Regelwerte liegen zwischen 12 und 40 Promille, höhere Ausnahmen möglich).

Rechnet man aber in Metern weiter (Also Bogenlänge 20m, die Steigung nun 20 Promille = 0,002m), erhält man einen eher kleinen Winkel, was Sinn macht. Der Bogenradius geht nun aber auf rund 10000m hoch, und dadurch ergibt sich dann mit einem kleinen Winkel bzw. dessen Cosinus (~0,993) ein delta_h von 65m, was noch unrealistischer ist Hammer

Hammer

Ich nutze den Tag, um das Problem zu lösen, sehe aber noch keine Lösung.

04.05.2013, 13:38

riwe

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wie wäre folgende variante:

m gibt nicht die steigung an, sondern den winkel, damit wäre der winkel des bogens $\begin{eqnarray*} \alpha=2° \end{eqnarray*}$

und man erhält $\begin{eqnarray*} r\approx 570m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta h\approx 0.35m \end{eqnarray*}$

natürlich onegewer smile

smile

04.05.2013, 14:10

dignitas

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Hallo Werner, das wäre natürlich klasse. Aber :

---------------------------------------------------------------------
Grundsätzlich noch zwei Hintergrundinformationen:Nach Beschreibung des Datensatzes geben Ausprägung 1 und 2 (bei mir dann m genannt) die Anfangs- bzw. Endtangente an.Für den weiteren Gleisgradiententyp "Gerade" gilt Ausprägung1=Ausprägung 2 : Gibt die Steigung der Geraden in Promille an.In diesem ersten Fall ist das delta_m 2 (weil 0 und 2). Filtere ich den Datensatz weiter, ergeben sich auch delta von der Größenordnung bis 13 (intensiv habe ich nicht gesucht, aber schon mal zwei Dreizehner gefunden).

-------------------------------------------------------------------

Begehe ich jetzt einen Gedankenfehler, wenn ich mir nochmal die Horizontale unter dem Bogen anschaue, delta_h nehme und aus dem Quotient von beiden die Steigung ermittle? Ich glaube schon. Am Ende des Bogen müsste die Steigung am größten sein, oder?

Also würde dort auch der Wert reichen bzw. die mit der Gradzahl korrespondierende Steigung.

Mit 13 als Gradwert und der zugehörigen Bogenlänge b=62m ergibt sich nun aber schon ein delta_h von 7m!

Danke, dass ihr mithelft.

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23.05.2013, 15:37

dignitas

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Vielleicht erbarmt sich ja doch noch jemand, und wenn es mein mathematischer Offenbarungseid ist, weil ich vielleicht einen dämlichen Fehler mache...

Mit der angegebenen Formel bereche ich für die Steigungen m1=0 und m2=20 Promille bei einer Bogenlänge von 20m einen Radius von rund 10000 Metern. Über den kleinen Winkel und den Formelzusammenhang ergbit sich dann aber ein Höhenunterschied von 65 Metern, was absolut unrealistisch ist.

Wenn ich mir aber vorstelle, einen Kreis mit dem Radius von 10km zu haben, und entlang dieses Kreises 20m abwandere, dann mache ich dabei doch keine Höhendifferenz dieser Größenordnung wett ... ?!?

NACHTRAG:

Das Gegenbeispiel wäre ein Kreis mit 20m Radius. Gehe ich dort entlang eines Viertels des Kreises (es geht um eine grobe Abschätzung zur Plausibilität), so lege ich eine Höhendifferenz von 20m zurück bei einer Kreisbogenlänge von ca. 31m. Im angebrachten Beispiel ist der Radius aber um ein Vielfaches größer UND das Bogenstück sogar noch kürzer, da nur 20m lang. Da kann die Höhendifferenz doch nicht 65m sein und irgendwo liegt ein Fehler vor ?!?

23.05.2013, 15:54

HAL 9000

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Keine Ahnung, was du da rechnest. Aus den beiden Steigungen $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ kannst du die Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi_1=\arctan(m_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi_2=\arctan(m_2) \end{eqnarray*}$ berechnen und daraus dann

$\begin{eqnarray*} r = \frac{b}{\varphi_2-\varphi_1} \end{eqnarray*}$

In deinem Rechenbeispiel $\begin{eqnarray*} m_1=0,m_2=0.020,b=20~m \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} r\approx 1000~m \end{eqnarray*}$ statt 10000.

Weiter: Die Höhendifferenz ist dann

$\begin{eqnarray*} h = r(\cos(\varphi_1)-\cos(\varphi_2)) \end{eqnarray*}$

hier ergibt das $\begin{eqnarray*} h\approx 0.2~m \end{eqnarray*}$ , klingt doch plausibel.

P.S.: Für sehr kleine Winkel kann man $\begin{eqnarray*} \tan(\varphi)\approx \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(\varphi)\approx 1-\frac{\varphi^2}{2} \end{eqnarray*}$ approximieren, es ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} h\approx \frac{b(m_1+m_2)}{2} \end{eqnarray*}$ .

23.05.2013, 16:12

dignitas

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Erst einmal vielen Dank für dein Feedback. Das klingt per se plausibel und ich könnte es jetzt in meiner Excel-Tabelle übernehmen und durchrechnen, möchte aber auch gern den Fehler finden.

Was ich rechne, sieht man oben auf dem Blatt. Es gibt zwei Unterschiede: Zum einen habe ich ein m2 von 0,002 und nicht 0,02, und dann muss ein Fehler in der Berechnung der Höhe liegen.

Ändere ich mein m2, entsprechend, erhalte ich auch den Radius von rund 100m. Mein Höhenunterschied wird aber noch größer, da ich (siehe Bild)

R=R*\cos(\phi)+h rechne.... verwirrt

verwirrt

23.05.2013, 16:18

HAL 9000

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20 Promille sind nicht 0.002, sondern 0.02, das siehst du sicherlich ein.

Ansonsten müsstest du aber das richige Resultat ermitteln, denn deine Formeln beinhalten den Spezialfall $\begin{eqnarray*} m_1=0 \end{eqnarray*}$ meiner Darlegung. Wenn du mit TR rechnen würdest, käme jetzt an der Stelle die "Du musst auf RAD statt DEG stellen"-Belehrung, aber die sollte sich bei Excel erübrigen - die rechnen ja immer im Bogenmaß, wie es sich gehört. verwirrt

verwirrt

23.05.2013, 16:38

dignitas

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Ich wollte damit nicht zum Ausruck bringen, dass ich dir bzgl. der Promille widerspreche. Dies galt lediglich der Erklärung in puncto "was ich rechne".

Richtig ist auch, dass ich mit Excel arbeite und nicht mit TR. Mysteriös..

23.05.2013, 16:56

HAL 9000

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Wie gesagt, ich hab keine Ahnung, was du da rechnest, denn die Formeln an sich sind in Ordnung.

23.05.2013, 16:57

Steffen Bühler

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Dann schreib doch mal die Schritte auf, mit denen Du in Excel rechnest, insbesondere die Excel-Formeln. So viel können's ja nciht sein. Vielleicht können wir Dir dann besser helfen.

Viele Grüße
Steffen

23.05.2013, 17:07

dignitas

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So,

ich denke ich habe des Rätsels Lösung. Irgendwann auf meiner langen Reise kam ich mal auf die Idee, in Grad umzurechnen. Ich habe in der Vergangenheit (zu) wenig mit Excel gearbeitet, so dass mir da vielleicht sinnvolle Grundlagen fehlen - leider.

Diesen Rechenschritt habe ich nicht entfernt. Jetzt passt alles.

Nun ergibt sich auch, warum ich mit 0,02 gerechnet habe. Ich habe zwar 20 Promille geschrieben, der erste Bogen im Datensatz hat aber zur Länge 20m die Steigungen 0 und -2, also 2 Promille und nicht 20.

Entscheidend war jetzt noch, dies bei besonders "kurzen" (relativ betrachtet) Bögen sowie den Größten Differenzen (m1/m2) zu betrachten.

bei einem Bogen von 98 Metern und einem Sprung von 24 auf 4 Promille ergibt sich dann zum Beispiel eine Höhendifferenz von etwa 98cm auf 98 Meter, also 1% oder 1 Promille. Ich werde den Algorithmus mal in den Datensatz einarbeiten und dann nochmal alle Werte überprüfen, auf den ersten Eindruck sieht es aber sehr plausibel aus.

Vielen Dank, denn durch den erneuten Dialog habe ich diese blöden Fehler gefunden :-)

23.05.2013, 17:08

HAL 9000

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Dann war meine Anmerkung

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn du mit TR rechnen würdest, käme jetzt an der Stelle die "Du musst auf RAD statt DEG stellen"-Belehrung, aber die sollte sich bei Excel erübrigen - die rechnen ja immer im Bogenmaß, wie es sich gehört. verwirrt

verwirrt

ja doch nicht so abwegig. Teufel

Teufel

24.05.2013, 12:16

dignitas

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In dem Moment war ich mir dessen auch schon bewusst. Ich hatte ein oder zwei Wochen später mal zusätzliche Nebenrechnungsfelder eingeführt, um zu überprüfen, ob Excel nun mit Radiant oder Grad rechnet. Ich habe beim Durchgehen der Rechnung dann den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen, nämlich dass ich bei der Einbindung des Winkels noch die Verlinkung in das "Grad-Feld" hatte. Hammer

Hammer

Nun stellt sich kurz vor dem Ziel aber noch ein erneutes Problem:

Die Rechnung stimmt, sowohl für den "Spezialfall" mit m1=0 (oder vice versa) und auch für gleiche Vorzeichen.

Was passiert aber bei wechselnder Steigung, also z.B.

Bogenradius 20m
Steigung m1=-2
Steigung m2= 1

Bisher habe ich absolut gerechnet. Nun kann aber der Höhenunterschied zwischen Elementbeginn und -ende nicht der selbe sein wie etwa im Fall m1=0 und m2=3, was Als Absolutbetrag ebenfalls 3 ergeben würde.

24.05.2013, 14:15

dignitas

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Ich denke ich brauche noch eine Fallunterscheidung, die ich weitestgehend fertig habe. Ich meine, das sieht ganz gut aus. Ich würde das hier, wenn es fertig ist, nochmal posten, und wäre für ein Feedback dankbar ;-)

25.05.2013, 07:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von dignitas
Was passiert aber bei wechselnder Steigung, also z.B.

Bogenradius 20m
Steigung m1=-2
Steigung m2= 1

Ich sehe keinen Hinderungsgrund, die Formeln

$\begin{eqnarray*} && \varphi_1=\arctan(m_1), \quad \varphi_2=\arctan(m_2) \\ && r = \frac{b}{\varphi_2-\varphi_1} \\ && h = r(\cos(\varphi_1)-\cos(\varphi_2)) \end{eqnarray*}$

auch hier anzuwenden. Natürlich ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in diesem deinen Parameterfall dann negativ und beschreibt den Höhenunterschied zwischen Anfangs- und Endpunkt, d.h. nicht etwa den zwischen höchsten Punkt (hier der Anfangspunkt) und der Talsohle.

28.05.2013, 15:41

dignitas

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Ja, mit dieser Formel schon. Ursprünglich hatte ich aber noch meine alte Formel drin und dabei anfangs immer mit dem Absolutwert gerechnet. Nichtsdestotrotz habe ich jetzt noch für die Variante zweier negativer Steigungen den Multiplikator -1 eingeführt, so dass der Höhenunterschied auch direkt negativ angezeigt wird.

28.05.2013, 17:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von dignitas
und dabei anfangs immer mit dem Absolutwert gerechnet.

Zuviel Betragsgedöns schadet mitunter mehr, als es nützt. Ich sehe hier nach wie vor keine Veranlassung für irgendwelche fallweise eingeschobenen Vorzeichenwechsel.

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