Bilinearform

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Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform
Meine Frage:


Weisen Sie nach, dass eine Bilinearform ist.
Weisen Sie nach, dass ein euklidisches Skalarprodukt definiert.
Ergänzen Sie zu einer Orthonormalbasis.

Meine Ideen:
... Für die Bilinearform muss ich laut Skript nachweisen, dass für alle x,y,z
und alle gilt:

()

Das Problem ist nur, dass ich überhaupt keine Idee habe, wie ich meine Funktion Beta in die Form der Definition brigen soll... :/
In der Definition kommen ja drei Elemente aus dem Körper vor :/ Da habe ich x,y,z und hier nur x,y. Ich verstehe das gar nicht, was ich jetzt wo einsetzen soll, um die Bilinearform zu bewesien; wäre schön, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte...
Geschweige denn, dass ích weiß, was ich mit den anderen Aufgabenteilen anfangen soll... unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
In setzt du zwei Vektoren ein. Zum Beispiel die Vektoren und .
Aber stell nochmal sicher, dass die Aufgabenstellung stimmt; in dieser Form wurde sie euch bestimmt nicht gegeben.
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
Danke, ich versuche es mal.
Ja, stimmt, da ist ein kleiner Fehler; die erste Kompontente der Funktion soll sein.
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
Aber was soll ich dann für x1,x2,x3 und y1,y2,y3 einsetzen? :/
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
Wenn dort steht, dann ist einfach die erste Komponente des ersten Arguments.
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
heißt das dann, dass ich für jedes x "xa+yb" und für jedes y "z" einsetze, mit dem entsprechenden Index?
Und dann das gleiche noch mal andersrum für Bedingung 2.?
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
Ja, genau so.
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
Okay danke, ich hab's soweit hinbekommen.
Jetzt fehlt nur noch der Beweis, dass Beta ein euklidisches Skalarprodukt definiert. Dass es symmetrisch ist, habe ich nachgewiesen, jetzt fehlt nur noch der Beweis dafür, dass Beta positiv definit ist.
D.h., ich muss beweisen, dass die linke Seite der Gleichung immer positiv ist - egal, welche Komponenten die Vektoren x und y haben..?
Hab's versucht umzustellen und auszuklammern um das irgendwie abzulesen - klappte leider nicht... :/
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
Du musst keineswegs zeigen, dass für alle erdenklichen Vektoren und gilt.
Du musst nur für zeigen.
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
Zitat:
Original von Ilona95

D.h., ich muss beweisen, dass die linke Seite der Gleichung immer positiv ist - egal, welche Komponenten die Vektoren x und y haben..?

Die rechte Seite meine ich...
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
Ach so... Danke! Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform
Eigentlich sollte aber klar sein, dass nicht zu zeigen ist.
Erstens ist .
Und wenn ist, dann ist .
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme gerade schon wieder nicht weiter; ich habe jetzt

Wahrscheinlich stehe ich einfach nur auf dem Schlauch; wie zeige ich nur, dass der letzte Term betragsmäßig kleiner sein muss? Ich meine, man sieht das ja, aber rechnerisch komme ich irgendwie nicht drauf... unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wäre es ganz hilfreich, die korrekte Definition von zu sehen, damit ich überprüfen kann, ob das bisher stimmt.

Ansonsten solltest du an die binomischen Formeln denken.
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so,
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist dieses Vorzeichen falsch:
Zitat:
Original von Ilona95
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt. Dann habe ich .
... nur weiterkommen tu ich damit leider trotzdem nicht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn mal versucht, eine binomische Formel anzuwenden?
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das funktioniert nicht, weil ich ja immer noch Vorfaktoren dabei habe... :/
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Na und?

Weg sind die Vorfaktoren.
Ilona95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah - Brett vorm Kopf..
Danke, jetzt hab' ich's aber...
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