Jeder Eigenwert gehört nur zu einem Eigenvektor

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Jules92 Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder Eigenwert gehört nur zu einem Eigenvektor
Meine Frage:
Hallo, brauche den allgemeinen Beweis zu :
Jeder Eigenwert gehört nur zu einem Eigenvektor.
Wie Geht man das am besten an? lg

Meine Ideen:
Bisher keine idee
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jeder Eigenwert gehört nur zu einem Eigenvektor
Was genau soll die Aussage denn bedeuten?

Zu einem Eigenwert gibt es jedenfalls immer unendlich viele Eigenvektoren.

Wenn wir jetzt mal von Vektorräumen über den reellen oder komplexen Zahlen ausgehen...
julchen2403 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jeder Eigenwert gehört nur zu einem Eigenvektor
genau deswegen ja, umgekehrt gibt es unendlich viele, aber wie beweis ich meine Frage? Denn ich muss ja das umgekehrte Beweisen,..
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, du sollst zeigen,
dass jeder Eigenvektor nur zu einem Eigenwert gehört? Das ist genau NICHT das, was du gefragt hast.
Falls du dennoch das meinst, nimm mal an, es gebe so einen Vektor zu 2 Eigenwerten.
Was passiert dann, wenn du die Abbildung auf ihn anwendest?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jeder Eigenwert gehört nur zu einem Eigenvektor
Dann ist wohl das hier aus dem Doppelpost die eigentliche zu beweisende Aussage:
Zitat:
Begründen sie allgemein dass jeder Eigenvektor nur zu einem Eigenwert gehört.

Dir fällt jetzt hoffentlich auf, dass du die Begriffe hier umgedreht hast Augenzwinkern

Dann nimm dir mal einen Operator (eine Matrix?) .
Jetzt nimm an, dass der Vektor Eigenvektor zu den Eigenwerten und ist.
Schreib dazu die Eigenwertgleichungen auf und zeige .
julchen2403 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du hast Recht genau so war meine Frage..
bin schon total verwirrt verwirrt

Wenn ich annehmen soll, dass 1 vektor zu 2 Eigenwerten gehört, fängt es schon damit an, dass mir dazu die vorstellung fehlt...

blödes Thema..
 
 
julchen2403 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also quasi die Eigentwertgleichung lautet:

(A - lamda*E))*xvektor=0vektor
setze ich quasi einmal lamda1 und einmal lamda2 ein und setze dies dann gleich?
dann müsste quasi ein widerspruch kommen oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, entweder die Gleichung oder direkt und .
Einen Widerspruch würdest du bekommen, wenn du annehmen würdest.
Wenn du das aber nicht tust, kannst du zeigen, dass gelten muss (wenn die obigen Gleichungen gelten), d.h. dass der zum Eigenvektor gehörige Eigenwert eindeutig ist.
julchen2403 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut das Prinzip habe ich verstanden, aber muss ich dann die Matrix A ausschreiben? und wie schreibe ich das allgemein hin? Ist v bei dir der Eigenvektor oder? schreib ich dann lamda1*v=lamda2*v? Kannst du mir noch einen tipp geben wie ich das dann allgemein ausformuliere.. steh auf dem schlauch..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von julchen2403
Gut das Prinzip habe ich verstanden, aber muss ich dann die Matrix A ausschreiben?

Nein, soll ja allgemein gehalten werden.

Zitat:
Ist v bei dir der Eigenvektor oder?

Ja, das hatte ich oben schon so definiert.

Zitat:
schreib ich dann lamda1*v=lamda2*v?

Genau, denn es ist , aber gleichzeitig auch .
Jetzt kannst du ein wenig umschreiben und ausnutzen.

Übrigens: Lambda schreibt man mit b Augenzwinkern
julchen2403 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey danke für den Hinweis also dann Lambda ;D

Gut das habe ich nun verstanden, danke!
Ist es dann zu wenig, wenn ich v auf die andere Seite bringe und dann v/v=1 ist weil dann würde gleich da stehen lambda1=lambda2, aber das wäre dann wahrscheinlich zu unausführlich oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was bitte soll denn sein? Augenzwinkern
Da musst du dir schon etwas anderes einfallen lassen.
julchen2403 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja eben ich dachts mir schon... traurig

geht es dann auch nicht wenn ich schreibe:
lambda1*(v1...vn) = lambda2*(v1...vn)
daraus folgt:
lambda1*(v1...vn) - lambda2*(v1..vn) = 0
und dann v1...vn rauskürzen und lambda 2 auf die andere seite bringen..

oder andere möglichkeit:

ich schreibe es aus:
lambda1*v1 +...+ lambda*1vn = lambda2*v1 + ... + lambda2*vn
dann bringe ich den rechten teil nach links also:
lambda1*v1+...+lambda*vn - ( lambda2*v1+...+lambda2*vn)= 0
dann kann ich schreiben
lambda1*v1 - lambda2*v1 + ... + lambda1*vn - lambda2*vn = 0
dann ( lambda1 - lambda2 )* (v1...vn) = 0
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Rauskürzen? verwirrt

Zitat:
Original von julchen2403
dann ( lambda1 - lambda2 )* (v1...vn) = 0

Das ist schon besser.
Du hättest in auch einfach auf beiden Seiten subtrahieren können, um auf zu kommen.

Kannst du damit jetzt etwas anfangen?
julchen2403 Auf diesen Beitrag antworten »

haha warum einfach wenns auch kompliziert geht.. Hammer

danke!
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