Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)

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Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Meine Frage:
Guten Abend zusammen smile
Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Es sei eine Folge nichtleerer abgeschlossener Teilmengen des metrischen Raumes (X,d) mit für Nun soll gezeit werden, dass , fallskompakt ist.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Idee, könnte mir vielleicht jemand einen Tipp für den Ansatz geben?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Da ein metrischer Raum ist, sind kompakte Mengen insbesondere folgenkompakt, d.h. aus jeder Folge aus kann eine konvergente Teilfolge ausgewählt werden.
 
 
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Also kann man jetzt eine Folge auswählen und von dieser weiß man, dass der Grenzwert wieder in liegt??
Kann man jetzt aus der Abgeschlossenheit und der Beschränktheit von darauf schließen, dass auch der Durchschnitt nicht leer ist?
Man weiß ja, dass jedes Folgenglied in liegt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Du sollst nicht irgendeine Folge wählen.
Wähle sie geschickt so, dass der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge im Schnitt liegt.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Ja, so etwas in der Art hatte ich auch im Sinn. Darf ich denn schon von vornherein sagen, dass dieser Grenzwert in allen enthalten sein soll??
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Nein, konstruiere die Folge so, dass es klappt.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Könnte ich vielleicht eine Folge nehmen, sodass jedes A_i eine Teilfolge enthält?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Darauf soll es hinauslaufen.
Nutze bei der Konstruktion der Folge, dass die jeweils nichtleer sind (was bedeutet das?).
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Das sie mindestens ein Element enthalten.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Und genau damit solltest du arbeiten.

Wenn du diese Aussage nämlich für alle machst und das Element, das dort mindestens enthalten sein soll, namentlich benennst – was erhältst du dann?
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Das müsste dann der Grenzwert sein, oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Was müsste der Grenzwert sein?
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Das Element, dass ich namentlich benenne?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Du benennst aber für jedes ein neues Element, nicht nur ein einziges.
Und tu das doch einfach mal...
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Ich verstehe gerade nicht was für ein Element ich benennen soll.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Für jedes hat mindestens ein Element.
Gib diesem einen Namen. Und zwar sollst du das für alle tun.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Kann ich sagen, dass (x_n)_i in jedem A_i liegt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Was ist denn ?
Naja, du sollst einfach ein Element wählen.

"Für sei ..."

Das sollte nun wirklich nicht sonderlich schwierig sein.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Ja und was für ein Element? Eine Folge, eine Teilfolge, ein einzelnes x, das in A_i liegt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Ein einzelnes. Eine Folge wären ja mehrere Elemente.

Aber gut, vielleicht ist das etwas zu einfach [attach]24103[/attach]
Jedenfalls können wir nach Voraussetzung für jedes ein wählen.
Kannst du damit etwas anfangen?
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Nicht wirklich, weil wenn dieses Element, dass einzige in A_i sein soll und es nicht gleich ist, dann ist der Durchschnitt ja die leere Menge und man soll ja das Gegenteil zeigen. verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Es wird ja nicht behauptet, dass das einzige Element von ist.
Es ist hingegen für alle .
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Achse stimmt, das habe ich schon ganz vergessen Ups
Könnte man dann vielleicht aus diesen x_i eine Folge basteln, weil demnach sind ja alle x_i in A_0.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Genau.
Wir haben eine Folge .
Was können wir nun wegen der Kompaktheit von machen?
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Wir können sagen, dass diese Folge einen Grenzwert in A_0 hat und jede Teilfolge konvergiert ja auch gegen diesen Grenzwert?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Nein, das können wir nicht sagen.
Die Stichworte Teilfolge und Grenzwert klingen aber schon ganz gut. Schlag nochmal nach, was die Kompaktheit für Folgen in metrischen (erstabzählbaren) Räumen bedeutet.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Also soweit ich das verstanden habe, konvergiert jede Teilfolge von einer Teilmenge K so, dass ihr Grenzwert wieder in K liegt.
Meinst du das?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Nein.
Nicht jede Teilfolge konvergiert, sondern jede Folge in der kompakten Menge besitzt eine Teilfolge, die in konvergiert.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Ok, und wie bringt mich das jetzt weiter?
Theoretisch könnte ich ja die x_ i als eine Teilfolge ansehen und ihr Grenzwert ist dann der Schnittpunkt, aber wie komme ich dahin?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Du kannst nicht einfach als Teilfolge ansehen, die konvergiert.
Und was bitte soll diese Aufgabe mit irgendeinem Schnittpunkt zu tun haben??

Du hast eine Folge in einer kompakten Menge gegeben.
Jetzt nutze die Aussage aus meinem letzten Beitrag.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Dann weiß man, dass x_i eine Teilfolge besitzt, die in A_0 konvergiert.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Genau.
Nun gib dieser Teilfolge mal einen Namen und ebenso dem Grenzwert.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Die Teilfolge besitzt den Grenzwert a.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Gut.
Jetzt ist die Vermutung natürlich, dass in liegt.
Kannst du das beweisen?
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Nicht wirklich. Weil das ist ja nur eine Teilfolge, sodass nicht alle x_i Glieder der Folge sind.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Erinner dich mal hieran:
Zitat:
Es ist hingegen für alle .


Was würde denn passieren, wenn es ein gäbe, so dass ?
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Dann wäre der Schnitt leer und a nicht der Grenzwert von der Teilfolge?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Nein.
Über den Schnitt würde das nichts aussagen und dass Grenzwert der Folge ist, nehmen wir sowieso an.

Nun solltest du nutzen, dass abgeschlossen ist.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Ich weiß es nicht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt nicht leerer abgeschlossener Teilmengen (in metrischen Räumen)
Wie ist denn Abgeschlossenheit definiert? (Stichwort: Komplement)
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