Projektion

06.05.2013, 23:09

Causal

Projektion

Seid gegrüßt smile

Erstmal die Aufgabenstellung

[attach]29934[/attach]

Bei dieser Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz. Ich wäre über jede Hilfestellung dankbar.

Gruß,

Causal

06.05.2013, 23:27

Che Netzer

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RE: Projektion
Benutze erstmal die Definition des Infimums, um eine hübsche Folge zu finden.

06.05.2013, 23:59

Causal

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RE: Projektion

Zitat:

Original von Che Netzer
Benutze erstmal die Definition des Infimums, um eine hübsche Folge zu finden.

Hm, ich hab mir folgendes überlegt.

Definieren wir $\begin{eqnarray*} \delta := \inf\{\|y\|:< \in Y\} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} \{ y_n\}_n \subset Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \| y_n \| \to \delta \end{eqnarray*}$ .
Ich will jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \{y_n\} \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist.
Betrachte:
$\begin{eqnarray*} \| y_n - y_m \|^2 \leq 2\left(\|y_n\|^2 + \|y_m\|^2 \right) - 4\delta^2 \to 0 \ , n,m \to \infty \end{eqnarray*}$
Bei der Ungleichung habe ich die Parallelogramm-Identität verwendet.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{y_n\} \end{eqnarray*}$ ist eine Cauchyfolge. Da $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ endlich-dimensional ist (Resultat aus dem Tutorium), ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ vollständig und abgeschlossen.
Also existert ein $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_n \to y \end{eqnarray*}$ .
Es folgt $\begin{eqnarray*} \|y\| = \lim\limits_{n \to \infty} \|y_n\| = \delta \end{eqnarray*}$

Passt das so?

07.05.2013, 00:12

Che Netzer

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RE: Projektion

Zitat:

Original von Causal
Definieren wir $\begin{eqnarray*} \delta := \inf\{\|y\|:< \in Y\} \end{eqnarray*}$

Wenn dieses $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ stehen sollte, hast du gerade gezeigt, dass es in einem endlichdimensionalen Unterraum stets eine Nullfolge gibt.
Glückwunsch! Augenzwinkern

Woher nimmst du aber eigentlich die Parallelogramm-Identität?

Naja, wenn dir Folgen nicht passen, könntest du auch über Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen argumentieren.

07.05.2013, 00:20

Causal

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RE: Projektion

Zitat:

Ja, sollte ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ hin. Wieso das?

Zitat:

Benutze erstmal die Definition des Infimums, um eine hübsche Folge zu finden.

Kannst du mir mal zeigen, wie jene Folge auszusehen hat? smile

07.05.2013, 00:26

Che Netzer

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RE: Projektion
Definiere dir lieber $\begin{eqnarray*} \delta:=\inf_{y\in Y}\lVert x-y\rVert \end{eqnarray*}$ .
Natürlich existiert dann eine Folge von $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ mit ...
Da $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ endlichdimensional ist, kann man dann ...

07.05.2013, 00:29

Causal

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RE: Projektion
Also lag es an 'meinem' $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ und der Beweis läuft ja dann (fast) analog oder?

07.05.2013, 00:31

Che Netzer

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RE: Projektion
Eigentlich läuft der Beweis danach etwas anders. Vor allem kürzer Augenzwinkern

07.05.2013, 00:47

Causal

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RE: Projektion
Hm ok, hab folgendes:

Definiere $\begin{eqnarray*} \delta = \inf_{y \in Y} \lVert x-y \rVert \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} \{y_n\} \subset Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x - y_n\| \to \delta \ , n \to \infty \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ endlichdimensional ist, kann man..
Was kann man?

07.05.2013, 07:56

Che Netzer

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RE: Projektion
Das sollst du ja nun herausfinden Augenzwinkern

Nutze dabei noch, dass $\begin{eqnarray*} \{y_n\}_n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

07.05.2013, 08:19

Causal

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RE: Projektion
War wohl zu spät zum Denken Big Laugh

Also ich hab nun folgendes:

Definieren $\begin{eqnarray*} \delta = \inf_{y \in Y} \lVert x - y \rVert \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} \{y _n\} \subset Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lVert x - y_n \rVert \to \delta \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ endlichdimensional ist (und $\begin{eqnarray*} \{y_n\} \end{eqnarray*}$ beschränkt), kann man eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} \{y_{n_{k}}\} \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} y_{n_{k}} \to y_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 \in Y \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.
Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} \lVert x - y_0 \rVert = \lVert x - \lim\limits_{k} y_{n_{k}} \rVert = \lim\limits_{k} \lVert x - y_{n_{k}} \rVert = \delta \end{eqnarray*}$
Bei dem zweiten Gleichheitszeichen, habe ich die Stetigkeit der Norm verwendet.

Ich hoffe, dass es nun stimmt^^

07.05.2013, 08:27

Che Netzer

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RE: Projektion
Ja, das passt. Du solltest höchstens noch kurz die Beschränktheit der Folge zeigen.

Kannst du etwas zur Eindeutigkeit sagen?

07.05.2013, 08:40

Causal

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RE: Projektion
Also für die Beschränktheit habe ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lVert y_n \rVert \leq \lVert x - y_n \rVert + \lVert x \rVert \to \delta + \lVert x \rVert \end{eqnarray*}$
Damit wäre mein $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ beschränkt.
Zur Eindeutigkeit habe ich noch nichts. Kannst du mir noch sagen, ob man das zeigen oder widerlegen kann?

07.05.2013, 08:42

Che Netzer

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RE: Projektion
Das zur Beschränktheit stimmt.
Die Eindeutigkeit kannst du widerlegen.

07.05.2013, 09:13

Causal

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RE: Projektion

Zitat:

Original von Che Netzer
Die Eindeutigkeit kannst du widerlegen.

Hm, ehrlich gesagt fällt mir kein Gegenbeispiel ein..

07.05.2013, 09:27

Che Netzer

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RE: Projektion
Da kannst du sogar schon im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit geeigneter Norm suchen.

07.05.2013, 10:09

Causal

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RE: Projektion
Wir könnten ja $\begin{eqnarray*} \left( \mathbb{R}^2 , \lVert \cdot \rVert _{\infty}\right) \end{eqnarray*}$ betrachten.
Wenn wir jetzt $\begin{eqnarray*} x = e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 = 0_{\in \mathbb{R}^2} \end{eqnarray*}$ wählen, dann erhalten wir:

1. $\begin{eqnarray*} \lVert x - y_0 \rVert_{\infty} = \max\left( \left| e_1 \right| \right) = 1 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \lVert x - y_0 \rVert = \inf \lVert e_1 - y \rVert = 1 \end{eqnarray*}$

Damit hätten wir eine Norm gefunden, die dasselbe, wie unsere 'Projektionsnorm', erfüllt.
Haut das so hin?

07.05.2013, 14:04

Che Netzer

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RE: Projektion
Damit zeigst du gar nichts.
- Was ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ?
- Wieso ist das Infimum Eins?
- Existiert noch ein $\begin{eqnarray*} y_0'\in Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_0'\neq y_0=0 \end{eqnarray*}$ , für das das Infimum angenommen wird?

07.05.2013, 15:49

Causal

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RE: Projektion

Zitat:

Original von Che Netzer
Damit zeigst du gar nichts.
- Was ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} Y = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

- Wieso ist das Infimum Eins?

Wenn wir das Infimum über alle $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ nehmen mit dem geringsten Abstand zu $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ . Dann kommt eins raus.

Zitat:

- Existiert noch ein $\begin{eqnarray*} y_0'\in Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_0'\neq y_0=0 \end{eqnarray*}$ , für das das Infimum angenommen wird?

Gute Frage...

War denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , versehen mit der Maximumsnorm, eine gut Wahl?
Wenn ja, wie widerlegt man die Eindeutigkeit?

07.05.2013, 18:51

Che Netzer

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RE: Projektion

Zitat:

Original von Causal
$\begin{eqnarray*} Y = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

Das ist schlecht...

Zitat:

- Wieso ist das Infimum Eins?

Wenn wir das Infimum über alle $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ nehmen mit dem geringsten Abstand zu $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ . Dann kommt eins raus.

Nicht, wenn du $\begin{eqnarray*} Y=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ wählst. Nimm lieber einen Teilraum.

Zitat:

War denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , versehen mit der Maximumsnorm, eine gut Wahl?

Ja, die einfachste, die mir einfällt.
Die Wahl von $\begin{eqnarray*} x=e_1 \end{eqnarray*}$ war auch gut. Jetzt musst du noch einen geeigneten Unterraum $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ finden.
Zeige dann, dass das besagte Infimum größer gleich Eins ist und finde zwei (verschiedene) Elemente aus $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ mit dem Abstand Eins zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

07.05.2013, 22:00

Causal

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RE: Projektion
Also ein geeigneter Teilraum wäre evtl. $\begin{eqnarray*} B = \{ x \in \mathbb{R}^2 : \lVert x \rVert_{\infty} \leq 1 \} \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} x = e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1 = (1,1) \ , \ y_2 = e_2 \end{eqnarray*}$
Wir sehen $\begin{eqnarray*} y_1 \neq y_2 \end{eqnarray*}$ und es gilt, dass der Abstand zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gleich Eins ist.
Bei dem Infimum würde ich einfach $\begin{eqnarray*} -e_1 \end{eqnarray*}$ wählen und dann wäre der Abstand gleich Zwei, also größer gleich Eins.

07.05.2013, 22:05

Che Netzer

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RE: Projektion

Zitat:

Original von Causal
Also ein geeigneter Teilraum wäre evtl. $\begin{eqnarray*} B = \{ x \in \mathbb{R}^2 : \lVert x \rVert_{\infty} \leq 1 \} \end{eqnarray*}$ .

Das ist kein Teilraum, das ist ein Quadrat Augenzwinkern

07.05.2013, 22:07

Causal

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RE: Projektion
Jo , anscheinend mach ich mir das zu kompliziert..
Hm

07.05.2013, 22:08

Che Netzer

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RE: Projektion
Welche simplen echten und nichttrivialen Unterräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ kennst du denn?

07.05.2013, 22:11

Causal

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RE: Projektion
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ...

07.05.2013, 22:14

Che Netzer

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RE: Projektion
Naja, lieber $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\{0\} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Oder noch besser: $\begin{eqnarray*} \{0\}\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
D.h. Elemente von $\begin{eqnarray*} Y=\{0\}\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ haben dann welche Form?

Und wie sehen deren Differenzen mit $\begin{eqnarray*} x=e_1 \end{eqnarray*}$ aus?

07.05.2013, 22:38

Causal

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RE: Projektion

Zitat:

D.h. Elemente von $\begin{eqnarray*} Y=\{0\}\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ haben dann welche Form?

$\begin{eqnarray*} \left( 0,a \right) \in \{0\} \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und wie sehen deren Differenzen mit $\begin{eqnarray*} x=e_1 \end{eqnarray*}$ aus?

Die Differenzen bzgl der Maximums norm wären dann:
$\begin{eqnarray*} \lVert e_1 - (0,a) \rVert_{\infty} = \max\left(1 , |a| \right) \end{eqnarray*}$
Für könnten jetzt für $\begin{eqnarray*} a = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ einsetzen und würden für zwei verschiedene Werte denselben Wert erhalten...

Mich verwirrt eher, warum wir die Maximumsnorm betrachten , wenn wir die Eindeutigkeit von unser Projektionsnomr widerlegen möchten.

07.05.2013, 22:41

Che Netzer

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RE: Projektion

Zitat:

Original von Causal
Die Differenzen bzgl der Maximums norm wären dann:
$\begin{eqnarray*} \lVert e_1 - (0,a) \rVert_{\infty} = \max\left(1 , |a| \right) \end{eqnarray*}$

Ja, insbesondere ist $\begin{eqnarray*} \inf_{y\in Y}\lVert e_1-y\rVert\geq1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Für könnten jetzt für $\begin{eqnarray*} a = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ einsetzen und würden für zwei verschiedene Werte denselben Wert erhalten...

Wir können sogar $\begin{eqnarray*} a\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ beliebig wählen und haben immer ein $\begin{eqnarray*} y=(0,a) \end{eqnarray*}$ , für das der Abstand zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ minimal wird.

Zitat:

Mich verwirrt eher, warum wir die Maximumsnorm betrachten , wenn wir die Eindeutigkeit von unser Projektionsnomr widerlegen möchten.

Was denn für eine Projektionsnorm?
Wir wollen die Eindeutigkeit "desjenigen" Element aus $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ widerlegen, welches den minimalen Abstand zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat.

07.05.2013, 22:46

Causal

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RE: Projektion
Schlecht gewählter Name. Sry. Ich meine die Norm der Aufgabenstellung.

07.05.2013, 22:48

Che Netzer

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RE: Projektion
Ja, und wir haben $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert_\infty \end{eqnarray*}$ als Norm gewählt.

07.05.2013, 23:10

Causal

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RE: Projektion
Alles klar, hat Klick gemacht.
Ich danke dir smile