Konvergenz

28.07.2004, 21:27

maxi

Konvergenz

Hi leute habe hier ne aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin. verwirrt

Warum konvergiert diese folge nicht:

$\begin{eqnarray*} a{n} = (n^2 + 2n + 1) / (20n + 5) \end{eqnarray*}$

???

Als Lösung steht hier im "Lösungsheft": Nenner konvergiert, Zähler divergiert, daher divergiert die Folge.

Kann mir das einer etwas genauer erklären bitte?

Dank euch

28.07.2004, 21:42

Leopold

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Also was da in deinem Lösungsheft steht, ist (wenn es denn wirklich so da steht) ziemlicher Blödsinn.

Bei solchen Brüchen, wo Zähler und Nenner Polynome sind, geht man folgendermaßen vor:

Man klammert in Zähler und Nenner die jeweils höchsten Potenzen aus und kürzt. Hier:

$\begin{eqnarray*} a_n \ = \ \frac{n^2+2n+1}{20n+5} \ = \ \frac{n^2 \left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2} \right)}{n \left(20+\frac{5}{n} \right)} \ = \ n \cdot \frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{20+\frac{5}{n}} \end{eqnarray*}$

Und vielleicht siehst du jetzt selber, wie man weiter argumentieren muß.

28.07.2004, 22:51

maxi

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danke für die hilfe. ist nun klar.

leider weiss ich nicht, wie man die lösung klausurtauglich herleitet.

reicht das geschriebene mit nem "lim a = oo" dahinter oder muss ich nochwas dazuschreiben?

28.07.2004, 23:10

SirJective

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Hallo maxi,

eine weitere Möglichkeit, die dir helfen könnte, ist eine Polynomdivision. Damit zerlegst du den gegebenen Bruch in die Summe eines Polynom und eines Bruchs, dessen Nennergrad größer als der Zählergrad ist (ein "echter Bruch").
In deinem Fall wächst der Polynom-Summand über alle Grenzen, während der echte Bruch gegen 0 konvergiert (das tut er übrigens immer). Die Summe der beiden konvergiert also nicht.

Wenn du es so machst wie Leopold, dann hast du zwei Faktoren. Der erste (n) wächst über alle Grenzen, der zweite konvergiert gegen einen positiven Wert (welchen, maxi?), und damit konvergiert das Produkt nicht.

Wenn man übrigens nur ein n ausklammert und kürzt, dann gilt für das Ergebnis die Aussage aus deinem Lösungsheft: Der Zähler (n+2+1/n) divergiert, der Nenner (20+5/n) konvergiert.

Gruss,
SirJective

29.07.2004, 10:14

Mazze

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Zitat:

reicht das geschriebene mit nem "lim a = oo" dahinter oder muss ich nochwas dazuschreiben?

Es wäre noch sinnvoll zu sagen das (nach Leopolds weg)

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \| \frac{1}{n^2} \|\frac{5}{n} \end{eqnarray*}$

gegen Null konvergieren (was ja auch klar ist) und dann nach Leopolds variante folgendes übrig bleibt

$\begin{eqnarray*} \ n \cdot \frac{1}{20} = \frac{n}{20} \end{eqnarray*}$

Und das n/20 divergiert ist offensichtlich. Meiner meinung nach so die sauberste Form da es keinen Zweifel offen lässt.

Alternativ kannst Du auch

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+2n+1}{20n+5} \ = \frac{n^2}{20n + 5} + \frac{2n}{20n+5} + \frac{1}{20n+5} \end{eqnarray*}$

Schreiben, da Du jetzt aber wieder ausklammern must ist es nahezu der gleiche wie der Weg von Leopold.

Frage an andere: Ich hab die Grenzwertsätze hier angewendet ohne das jede Folge des Ausdrucks konvergiert, ist das nich falsch? (auch wenns so schön aussieht -.-)

29.07.2004, 10:39

therisen

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Hm ne würd ich nicht sagen, das geht schon so klar. Bei einigen Beweisen lässt man ja den Limes anfangs auch weg, um den Term weiter umzuformen und schreibt ihn dann erst gegen Ende bei dem umgeformten Term hin.

Gruß, therisen

29.07.2004, 10:59

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mazze
Frage an andere: Ich hab die Grenzwertsätze hier angewendet ohne das jede Folge des Ausdrucks konvergiert, ist das nich falsch? (auch wenns so schön aussieht -.-)

Nimm an, es gäbe einen Grenzwert, dann darfst du die Sätze anwenden und produzierst einen Widerspruch Augenzwinkern

Gruß vom Ben

29.07.2004, 14:44

maxi

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Hey Leute danke für die Antworten, haben sehr geholfen.

Nun stellt sich mir eine etwas andere Frage - es geht um Konvergenz von Folgen.

Welche Grundsätzlichen Regeln gibt es, die man auch in einer Klausur anwenden darf, um zu zeigen, dass beispielsweise
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^p} \end{eqnarray*}$
konvergiert?
Denn es kommen bei mir im Lösungsheft öfters solche "einfachen" Folgen raus, nachdem eines der Kriterien (Leibniz, Majoranten...) angewendet wurde.
Zur Begründung steht leider nur: A konvergiert, wenn B konvergiert. Und B konvergiert.
Für mich nur scheinbar trivial. Ich kenne nur die geometrische, die unendliche geometrische und die harmonische Reihe als fest anwendbare Regeln.

Also: Welche gibt es noch? Bitte klärt mich über die trivialen Zusammenhänge auf smile

Dank euch im Voraus, Leute smile

maxi

latex code verbessert und Doppelpost anschliessend gelöscht (Mazze)

29.07.2004, 15:17

Mazze

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Eine Frage , welche Klassenstufe bist Du? Ich will dich mit dem Zeug hier nicht noch zusätzlich belasten vor der Klausur!

Ach ja, melde Dich doch an dann kannst Du die edit funktion benutzen!

Zitat:

Nun stellt sich mir eine etwas andere Frage - es geht um Konvergenz von Folgen.

Also erst einmal handelt es sich um Reihen, nicht um folgen. Die Konvergenz von Reihen ist nicht annähernd trivial aber es gibt zahlreiche Wege die Konvergenz von Reihen zu bestimmen. Scheinbar hattets Du quotienten- und wurzelkriterium nicht aber ich schreibs Dir mal hier hin

Wurzelkriterium

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$

konvergiert wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1 \end{eqnarray*}$

divergiert wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} > 1 \end{eqnarray*}$

für = eins kann man keine Aussage treffen

Quotientenkriterium

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$

konvergiert wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \end{eqnarray*}$

divergiert wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 \end{eqnarray*}$

für gleich 1 keine Aussage

Weitere Wege:

Die Folge jeder konvergenten reihe ist Nullfolge, die Umkehrung gilt nicht (siehe harmonische Reihe)

Folge der partialsummen aufstellen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~n \end{eqnarray*}$

S1= 1
S2 = 1 + 2 = 3
S3 = 1 + 2 + 3 = 6
Sn= n(n+1)/2

(denke die Formel kennst Du)

es gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Das heißt wenn Du die konvergenz/divergenz der partialsummenfolge einer Reihe beweist, und beweisen kannst das Reihe und Folge gleich sind(Induktion) hast Du auch die konvergenz/divergenz der Reihe beweisen

absolute Konvergenz

konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~|a_n| \end{eqnarray*}$ so heißt die Reihe absolut konvergent. Ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~|a_n| \end{eqnarray*}$ absolut konvergent so konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$

Leipnizkriterium

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n*a_n \end{eqnarray*}$

konvergiert wenn a_n eine monoton fallende Nullfolge ist, daraus lässt sich ableiten das die alternierende harmonische Reihe konvergiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n*\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert

Minorantenkriterium

findest du eine kleinere Reihe die divergiert so divergiert auch a_n

Majorantenkriterium

findest du eine konvergente Reihe die größer ist als a_n so konvergiert auch a_n

Du darfst natürlich nicht wild eine Reihe aussuchen (hat mal jemand ein Beispiel dazu zur Hand?)

Ohne diese ganzen Wege bleibt Dir meistens nicht anderes übrig als eine Reihe auf geometrische oder harmonische Form zu bringen. aber das sind so die Methoden (die ich kenne) um Konvergenz von Reihen nachzuweisen.

Um die Konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^p} \end{eqnarray*}$

muss man zusätzlich noch einen konvergenzradius angeben denn nicht für alle P divergiert/konvergiert die Reihe.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^{1/3}} \end{eqnarray*}$ divergiert

Übrigens die Methoden die ich genannt habe führen nicht zwingend zum Ziel, was die Schwierigkeit bei den reihen verdeutlicht.

edit

Mal ein paar Beispiele

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{2^n}{3^n} \end{eqnarray*}$

Ich nehme das Wurzel Kriterium

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n}{3^n}} =\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n} = \frac{2}{3} < 1 \end{eqnarray*}$

=> konvergiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{3^n}{2^n} \end{eqnarray*}$

3^n/2^n ist keine Nullfolge also divergenz, aber zum Beweis nehm ich nochmal das wurzel kriterium

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{3^n}{2^n}} =\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{3}{2})^n} = \frac{3}{2} > 1 \end{eqnarray*}$

=> divergenz

Beweis über geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{2^n}{3^n} = \sum_{n=0}^\infty~(\frac{2}{3})^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~x^n \end{eqnarray*}$ konvergiert wenn |x| < 1

2/3 < 1 => konvergenz

(das ist ja schon eine geometrische Reihe, wohl nicht so gutes beispiel)

29.07.2004, 16:33

economic

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Ah. Ich sehe gerade ich hatte mich schonmal angemeldet. Augenzwinkern

Bin Student und muss mich auf meine Analysis Prüfung in BWL vorbereiten.

Erstmal danke für deine ausführliche Erläuterung!

Das Forum hier ist übrigens echt spitze.

29.07.2004, 16:57

economic

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Ah wie Anfangsvorbereitung doch nervig sein kann.

Schon komme ich auf das nächste Problem, bei dem ich nicht weiterkomm. verwirrt

Zu bestimmen ist der Divergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{x^k}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Ich versuche es wie folgt:
r=\lim_{k \to \infty } \mid \frac{a_{k+1}}{a_{k}} \mid
...
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty } \mid \frac {\frac {x^{k+1}}{(k+1)(k+2)}}{\frac {x^{k}}{k(k+2)}} \mid \end{eqnarray*}$

Nach dem auflösen bleibt noch ein x im zähler übrig.

Im Lösungsbuch gibt es kein x mehr nach dem auflösen, sodass man einfach mit $\begin{eqnarray*} \frac {k(k+1)}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$ weiterrechnen kann und auf "1" kommt.

Wo liegt mein Fehler?

Übrigens sorry, wenn zu viele Fragen von meiner Seite kommen, aber ich benötige wirklich etwas Starthilfe und hier sind offenbar kompetente Leute am Werk. smile

Thx schonmal für die Hilfe. Gott

29.07.2004, 17:12

Mazze

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$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \mid \frac {\frac {x^{k+1}}{(k+1)(k+2)}}{\frac {x^{k}}{k(k+2)}} \mid \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {x^{k+1}}{(k+1)(k+2)}*\frac {k(k+1)}{x^k} \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {x}{(k+1)(k+2)}*\frac {k(k+1)}{1} \end{eqnarray*}$

Ich krieg das x auch nicht weg, und das ist auch nicht der Sinn denn du willst ja abhängig von x den Divergenzradius bestimmen. Ich vermute sie haben x = 1 gesetz da für x = 1 genau lim n -> oo = 1 rauskommt. Das ist ja der übergang von Konvergenz zu Divergenz.

<=>

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {x}{(k+2)}*\frac {k}{1} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du untersuchen wann

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {x*k}{k+2} > 1 \end{eqnarray*}$

gilt und diese x bilden den Divergenzradius.

29.07.2004, 21:22

economic

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Danke, verstanden.

Würde mich noch interessieren, wie man den Schluss Klausurtauglich hinschreibt. Also wie man auch schriftlich zum Konvergenz- oder Divergenzradius kommt.

29.07.2004, 23:31

Mazze

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als erstes guckst Du nach wann die Folge konvergiert und wann sie divergiert. Für |x| < 1 konvergiert die folge und für |x| > 1 divergiert sie. Den fall x = 1 musst Du dann gesondert betrachten!!!

Zu dem zweck forme ich den Ausdruck weiter um

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {x*k}{k+2} > 1 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {x}{1+\frac{2}{k}} > 1 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {x}{1} > 1 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } x > 1 \end{eqnarray*}$

So nun sieht man eindeutig wann |x| > 1 ist und hat es somit gezeigt!
Ich sehe grad das ich in meiner Umformung die Betragstriche nicht mitgeführt hab, weswegen da |x| > 1 stehen müsste.

(kann mal n Fachmann drauf gucken ob das so richtig ist??)

30.07.2004, 00:20

economic

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Alles klar.

Danke.

Wird auf jeden Fall reichen. Ist ja nur BWL - Analysis.

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Konvergenz

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