Gruppenordnung Primzahlprodukt, dann ist G nicht einfach

09.05.2013, 11:37	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenordnung Primzahlprodukt, dann ist G nicht einfach Meine Frage: Hallo Leute, ich steh hier vor einer Aufgabe und weiß nicht so recht, wie ich anfangen soll. Ich soll folgendes zeigen: Es gelte $\begin{eqnarray} \|G\|= pq \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ Primzahlen sind mit $\begin{eqnarray} p<q \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass G nicht einfach ist. Meine Ideen: Wenn ich also zeigen möchte, dass die Gruppe nicht einfach ist, dann muss ich ja "nur" einen Normalteiler finden, der ungleich G und 1 ist. Dann wäre die Gruppe schon nicht mehr einfach. Muss ich hier wieder eine Operation betrahten und den Kern bestimmen, der dann mein Normalteiler ist? Hat mir jemand einen Tipp? Danke
09.05.2013, 13:09	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenordnung Primzahlprodukt, dann ist G nicht einfach hallo, also wenn G einen nichttrivialen normalteiler hat, kann der ja nur die ordnung p oder q haben. Hilft das für den anfang? gruss ollie3
09.05.2013, 13:42	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenordnung Primzahlprodukt, dann ist G nicht einfach Hallo schon mal vielen Dank! Also, sein $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein nichttrivialer Normalteiler von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , dann kann wie du gesagt hast, $\begin{eqnarray} \|N\| \end{eqnarray}$ nur $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ sein. Wenn z.B. $\begin{eqnarray} \|N\| = p \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ - Sylowuntergruppe. Dann ist nach dem Satz von Sylow: $\begin{eqnarray} \|Syl_p(G)\| \mid q \end{eqnarray}$ da q eine Primzahl ist, ist dann: $\begin{eqnarray} \|Syl_p(G)\| \in \left\{ 1,q\right\} \end{eqnarray}$ . aus dem Satz von Sylow geht auch hervor, dass: $\begin{eqnarray} Syl_p(G) = 1 mod p \end{eqnarray}$ also muss: $\begin{eqnarray} 1modp \mid q \end{eqnarray}$ wenn jetzt $\begin{eqnarray} 1modp \end{eqnarray}$ immer ungleich q ist, dann hätte die Menge $\begin{eqnarray} Syl_p (G) \end{eqnarray}$ die Mächtigkeit 1 und nach einer Folgerung aus unserem Skript ist dann das Element da drin schon der Normalteiler. ist denn $\begin{eqnarray} 1modp \neq q \end{eqnarray}$ ?? EDIT: Wie kann man überhaupt $\begin{eqnarray} 1 mod p \end{eqnarray}$ rechnen? ich kann ja 1 nicht durch p teilen, ich dachte bei Modulo rechnen also $\begin{eqnarray} amodb \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} a > b \end{eqnarray}$ sein
10.05.2013, 18:11	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenordnung Primzahlprodukt, dann ist G nicht einfach Also ich habe mir nun noch ein mal ein paar Gedanken gemacht und einen Beweis aufgestellt, wäre schön, wenn den jemand korriegieren könnte. Also Sei $\begin{eqnarray} \|G\| = pq \end{eqnarray}$ dann existiert eine p - Sylow-Untergruppe $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|P\| = p \end{eqnarray}$ nach dem Satz von Sylow (Teil 3) muss ja gelten: $\begin{eqnarray} Syl_p(G) \mid q \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist muss dann aber: $\begin{eqnarray} Syl_p(G) = 1 \end{eqnarray}$ oder Syl_p(G) = q [/l] sein. Es gilt nach dem Satz von Sylow (Teil 3) aber auch: $\begin{eqnarray} Syl_p(G) \equiv 1 mod p \end{eqnarray}$ dies äquivalent zu der Aussage: $\begin{eqnarray} p \mid 1-\|Syl_p(G)\| \end{eqnarray}$ dann kann aber nur $\begin{eqnarray} \|Syl_p(G)\| = 1 \end{eqnarray}$ sein, und so hat man: $\begin{eqnarray} p \mid 0 \end{eqnarray}$ das passt, denn jede Zahl teilt die Null, da 0=0a. Mist, ich wollte nun $\begin{eqnarray} p \mid 1-q \end{eqnarray*}$ auf einen Widerpsruch führen, aber das ging irgendwie doch nicht! Ich brauch noch bisschen Hilfe!!!Danke!
10.05.2013, 18:18	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst andersrum die Anzahl der $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ -Sylowuntergruppen betrachten. Für deren Anzahl $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ gilt ja dann: $\begin{eqnarray} s \| p \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} s \equiv 1 \pmod q \end{eqnarray}$ . Entscheidend ist nun $\begin{eqnarray} p < q \end{eqnarray}$
10.05.2013, 18:43	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich glaube ich habs Nach dem Satz von Sylow gibt es also auch eine $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ - Sylow Untergruppe. $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|Q\| = q \end{eqnarray}$ . da $\begin{eqnarray} \|Syl_q(G)\| \mid p \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} \|Syl_q(G)\| \in \left\{ 1,p\right\} \end{eqnarray}$ und es muss: $\begin{eqnarray} \|Syl_q(G)\| \equiv 1 mod p \end{eqnarray}$ sein. Angenommen: $\begin{eqnarray} Syl_p(G) = q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Syl_q(G) = p \end{eqnarray}$ . dann muss: $\begin{eqnarray} q \equiv 1 mod p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p \equiv 1 mod 1 \end{eqnarray}$ sein. das ist äquivalent zu: $\begin{eqnarray} p \mid 1-q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \mid 1-p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} p < q \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} 1-p < q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ kann nicht erfüllt sein. Also war die Annahme falsch und entweder muss: $\begin{eqnarray} \|Syl_p(G)\| = 1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \|Syl_q(G)\| = 1 \end{eqnarray}$ wie schon erwähnt folgt dann (Folgerung X.Y aus Vorlesung) dass dann Ein nichttrivialer Normalteiler existiert. passt das?
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11.05.2013, 11:08	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
war die Schlussfolgerung nun korrekt?

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