Vertretersystem von Z in Q

09.05.2013, 12:51

steviehawk

Vertretersystem von Z in Q

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne, dass Vertretersystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Also die Nebenklassen sehe ja so aus: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q / \mathbb Z = \left\{ \frac{p}{q} + \mathbb Z | \frac{p}{q} \in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$

Ein Vertretersystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wäre nun eine Menge $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ mit Elementen in [/l] Q [/l] also sowas wie: $\begin{eqnarray*} T = \left\{ \frac{p_1}{q_1},...\frac{p_n}{q_n} | \frac{p_i}{q_i} \in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$ .
So dass diese Elemente alle nicht äquivalent sind zueinander und die Vereinigung ihrer Nebenklassen, wieder die ganze Gruppe also $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist.
(habe ich das richtig verstanden?)

Meine Ideen:
Zwei Elemente sind hier in Relation falls:

$\begin{eqnarray*} -\frac{p}{q} + \frac{m}{n} = \frac{,}{n} - \frac{p}{q} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ also wenn der Abstand zweier Zahlen gerade eine ganze Zahl ist. Das heißt in meinem Vertretersystem sind nur die Zahlen, deren Abstand keine ganze Zahl sind und deren Vereinigung von Nebenklassen wieder die ganze Gruppe ist.

Ich weiß nun nicht, wie ich die das aufschreiben soll. Ich könnte die Zahlen der Form nehemen. $\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{p}{q} |\frac{m}{n} - \frac{p}{q} \in [0,1) \right\} \end{eqnarray*}$ aber ich brauche ja auch die Zahlen, die z.B den Abstand 1,5 und so weiter haben und nicht nur die kleiner als 1, wie bekomme ich die?

Wie kann ich das Vertretersystem dann notieren?

Danke!

09.05.2013, 18:23

Elvis

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Mit dem Vertretersystem $\begin{eqnarray*} V=\{[0,1)\}\cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ liegst du schon richtig, denn für $\begin{eqnarray*} \frac m n \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} \frac m n - int(\frac m n)=v \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac m n - v \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Bitte überlege, ob das für negative und positive rationale Zahlen und die 0 stimmt, und wie du int(m/n) definieren musst, damit das passt.

Anmerkung: endlich viele rationale Zahlen sind nicht genug für ein Vertretersystem !

09.05.2013, 19:06

steviehawk

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Hey Danke für deine Antwort, was heißt denn $\begin{eqnarray*} int(\frac{m}{n}) \end{eqnarray*}$ ?

10.05.2013, 12:02

Elvis

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Das ist die Funktion $\begin{eqnarray*} int:\mathbb Q\to\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , die zu einer rationalen Zahl die nächste ganze Zahl sucht.

10.05.2013, 12:53

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Elvis
Das ist die Funktion $\begin{eqnarray*} int:\mathbb Q\to\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , die zu einer rationalen Zahl die nächste ganze Zahl sucht.

Ich nehme an, damit meinst du die Gaußklammer, Abrundungs- oder Floor-Funktion $\begin{eqnarray*} \lfloor q\rfloor \end{eqnarray*}$ .

10.05.2013, 16:54

steviehawk

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wieso reicht das Vertretersystem $\begin{eqnarray*} T = [0,1) \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ noch nicht aus?

Ich verstehe nich so richt, was ich mit int(m/n) anfangen soll, das habe ich noch nie gesehen verwirrt

10.05.2013, 18:06

Elvis

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Klar reicht das Vertretersystem aus ... sag ich doch ... die Gaußklammer (oder wie immer man die Funktion nennen möchte) dient dazu, zu beweisen, dass das Vertretersystem ein Vertretersystem ist.

10.05.2013, 19:15

steviehawk

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Okay, danke! Für heute gebe ich mich mal damit zu frieden das System gefunden zu haben smile

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