Ableitung ln

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09.05.2013, 13:12	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung ln Meine Frage: Hallo, benötige mal wieder eure Unterstützung bei folgender Aufgabe: erste Ableitung von $\begin{eqnarray} y\left(x\right)=ln\sqrt{4x-x^{2} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4x-2x} \end{eqnarray}$ Danke schon mal für die Hilfe
09.05.2013, 13:34	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn auf die 2x im Nenner? Ganz so einfach ist es nicht. Mein Vorschlag, den du vllt als erstes umsetzen solltest -> Logarithmengesetze um die Wurzel loszuwerden .
09.05.2013, 14:02	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ... Dann hab ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} ln\left(4x-x^{2} \right) \end{eqnarray}$ ?
09.05.2013, 14:09	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Nun kümmere dich um die Ableitung des Logarithmus. Berücksichtige die Kettenregel (also innere Ableitung).
09.05.2013, 15:12	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ab hier komm ich einfach nicht mehr weiter...
09.05.2013, 15:13	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hattest doch zu Beginn die richtige Idee. Was ist die Ableitung des Logarithmus normalerweise? Berücksichtige hierbei nur noch die Kettenregel .
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09.05.2013, 15:14	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
1/x
09.05.2013, 15:15	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möcht nicht den Gesprächflow stören... Aber weil ich die Aufgabe zufällig entdeckt habe und lustig fand... Man müsste ja keine Logarithmusgesetze anwenden? Kann ich nicht ln ableiten, danach die Kettenregel anwenden? Wobei ich dann auf einen komischen Ausdruck ala das komme: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(4x-x^{2})^{1/2}} \frac{1}{2} (4x-x^{2})^{-1/2}(4-2x) \end{eqnarray*}$ (Falls das hier: verboten, unerwünscht, töricht ist - bitte einfach löschen... ) PS: Hab mir übrigends grad die Antwort selbst schon gegeben. Irgendwie unschöner Ausdruck, aber stimmen tut er Edit Equester: Latex korrigiert.
09.05.2013, 15:27	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Und da Equester offline ist, übernehme ich kurz. Genau: 1/x = Ableitung von ln. Was ist dein x? Das musst du in diesem Fall mit der Kettenregel auch nochmal ableiten Probiers mal und wir sehen uns dann an wo das Problem ist
09.05.2013, 15:31	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
@Adramelec: Die deinige Lösung ist natürlich nicht falsch, aber bei weitem aufwendiger als mein Vorschlag .
09.05.2013, 15:33	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, habs schon gesehen.. Ahhh... Equester ist da, ich bin wieder raus
09.05.2013, 15:49	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein x = 4x-x2
09.05.2013, 16:00	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Yup, so ist es. Also sind wir mal soweit: $\begin{eqnarray} (\frac{1}{2} ln\left(4x-x^{2} \right))'=\frac12\frac{1}{4x-x^2}\cdot(4x-x^2)' \end{eqnarray}$ Wobei der letzte Faktor noch die zu berechnende innere Ableitung ist.
09.05.2013, 16:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum bei den Logarithmusgesetzen nur den ersten Schritt wagen und nicht auch gleich den zweiten? $\begin{eqnarray} f(x) = \ln \sqrt{4x-x^2} = \frac{1}{2} \ln \left( x \cdot (4-x) \right) = \frac{1}{2} \left( \ln x + \ln (4-x) \right) \ \ (0<x<4) \end{eqnarray}$
09.05.2013, 16:56	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil ich da keine Vereinfachung gesehen habe und immernoch nicht sehe .
11.05.2013, 11:43	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
dann hab ich folgendes $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{1}{4x-x^{2}} * 4-x \end{eqnarray*}$
11.05.2013, 15:13	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt Punkt vor Strichrechnung. Es ist also absolut nötig, Klammern zu setzen...um den letzten Faktor. Dort fehlt außerdem noch eine 2. Die Ableitung von x² ist natürlich 2x. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{1}{4x-x^{2}} \color{red}(\color{black}4-\color{red}2\color{black}x\color{red})\color{black} \end{eqnarray}$ Nun noch kürzen (das 1/2 mit dem letzten Faktor) und fertig .
11.05.2013, 17:22	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay passt das so? $\begin{eqnarray} \frac{2-x}{4x-x^{2}} \end{eqnarray}$ was ich nicht versteh ist wie wir die Wurzel weg bekommen haben. $\begin{eqnarray} \sqrt{4x-x^{2} } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \left(4x-x^{2} \right) ^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$
11.05.2013, 17:30	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem mit der Wurzel hat sich bei uns bei der Ableitung gar nicht ergeben. Denn wir hatten die Logarithmengesetze zuvor verwandt: ln(a^b)=b*ln(a), wobei b=1/2 ist und die Wurzel symbolisiert .
11.05.2013, 17:40	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle antwort. Kann man die Aufgabe auch mit den Potenz gesetzen lösen? like $\begin{eqnarray} u^{-} =(4-2x)^{-\frac{1}{2}} = \frac{(4-2x)}{2}\frac{1}{4x-x^{2} } \end{eqnarray*}$ P.S. wie mach ich das Ableitungszeichen in Latex?
11.05.2013, 18:40	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann deiner Gleichung nicht ganz folgen. Da fehlen wohl die von dir angemerkten Ableitungszeichen? Oder ist das - das Ableitungszeichen. Dann passts . Nutze dafür ' (direkt neben der Entertaste).
11.05.2013, 18:57	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte die Wurzel in eine Potenz wandeln und danach Ableiten um mit der Kettenregel f'(x)=u'v' zu berechnen $\begin{eqnarray} u=\sqrt{4x-x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'=(4-2x)^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ v= ln(x) $\begin{eqnarray} v'= \frac{1}{4x-x^{2} } \end{eqnarray*}$ ist dies so korrekt oder hab ich noch einen fehler
11.05.2013, 19:04	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
u' ist falsch. Wir haben hier insgesamt zweimal die Kettenregel anzuwenden. Einmal für den Logarithmus und dessen Numerus. Und einmal für die Wurzel und deren Radikand. Letzteres ist bei u' zu berücksichtigen, was du nicht getan hast. v' ist in doppelter Hinsicht falsch. Zum einen kannst du nicht von ln(x) auf die deinige Ableitung schließen. Die ist einfach 1/x. Aber selbst dann, wenn man berücksichtigt, dass du gleich wieder u eingesetzt hättest, ist das eben nicht u. Die Wurzel fehlt .
11.05.2013, 19:07	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich buff Wie würdest du die Ableitungen schreiben um sie dann in die Kette einzusetzen ohne die Log Gesetze?
11.05.2013, 19:11	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Adramalec hatte es schon vorgemacht: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(4x-x^{2})^{1/2}} \frac{1}{2} (4x-x^{2})^{-1/2}(4-2x) \end{eqnarray*}$ Dabei ist der erste Faktor zuständig für den Logarithmus selbst und der Rest für den Numerus. Man beachte dabei, dass 1/2 und der vorletzte Faktor die Ableitung des Numerus selbst sind und der allerletzte Faktor dessen innere Ableitung. Du kannst folgen?
11.05.2013, 19:15	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich kann folgen nur denke ich das ich hier große Probleme beim vereinfachen habe
11.05.2013, 19:19	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis kennst du ja schon . Probier es mal dort hinzukommen. Sonst gib Bescheid. (Oder war das generell gemeint?)
11.05.2013, 19:29	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Eher generell Also soweit bin ich jetzt $\begin{eqnarray} (4x-x^{2})^{-\frac{1}{2}}\frac{1}{2}(4x-x^{2})^{-\frac{1}{2}} (4-2x) \end{eqnarray*}$ Edit Equester: Latex korrigiert.
11.05.2013, 19:32	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen dem Latex: Bitte das Minus in die geschweifte Klammern ziehen. Fürs generelle -> Typische Antwort: Üben üben üben. Es hilft! Zur Sache: Du hast zweimal den gleichen Faktor mit der gleichen Basis. Addiere also die Potenzen. Es ergibt sich? Den zweiten und letzten Faktor kannst du auch miteinander verarbeiten.
11.05.2013, 19:46	daho84	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die sehr gute Unterstützung!!! Heute hab ich wirklich was dazu gerlernt.
11.05.2013, 19:46	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich, wenn ich helfen konnte. Wenns mal wieder ein Problem gibt, weißt du ja nun wo du Hilfe findest .

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