Matrix A und f(A)

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eni2208 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix A und f(A)
Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabe lautet "sei K beliebiger körper, . welche der folgenden Eigenschaften von vererben sich auf für alle
A ist diagonalisierbar/trigonalisierbar/invertierbar/symmetrisch und vertauscht mit allen Matrizen.

Meine Ideen:
Mein Problem ist, dass ich mir nicht so ganz darüber im klaren bin, was genau f(A) sein soll. Ich habe erst an das charakteristische Polynom gedacht, aber irgendwie macht das auch nicht soo viel Sinn, oder?
SigmundFreud Auf diesen Beitrag antworten »

Also: heißt, dass f ein Element eines Polynomrings über K ist.(http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomring). Der Ausdruck heißt, dass du nun die Matrix A in das Polynom aus K[t] einsetzt.
eni2208 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich dann zB die Matrix habe, dann habe ich als Polynom . Und da setze ich dann für t A ein??
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass die genannten Eigenschaften auch für beliebige Potenzen von A gelten, wenn sie für A gelten.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, man soll überprüfen, welche immer erhalten bleiben.

Nur Potenzen von zu betrachten, genügt dabei übrigens nicht, es müssen schon ganze Polynome sein.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Nein, man soll überprüfen, welche immer erhalten bleiben.

Nur Potenzen von zu betrachten, genügt dabei übrigens nicht, es müssen schon ganze Polynome sein.


Du hast recht, wenn es um die Invertierbarkeit geht. Aber wenn A diagonalisierbar/trigonalisierbar/symmetrisch oder mit allen Matrizen vertauschbar ist, dann vererbt sich das auf Potenzen und Polynome.
 
 
eni2208 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie genau zeige ich das jetzt? Big Laugh Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal sollte klar sein, dass aus folgt



Dann solltest du zeigen, dass aus der Diagonalisierbarkeit von die von folgt, indem du zeigst, dass das Produkt zweier Diagonalmatrizen wieder diagonal ist. Analoges kann man für obere Dreiecksmatrizen zeigen. Bei symmetrischen Matrizen kann man zeigen, dass das Produkt symmetrisch ist, wenn die Matrizen vertauschbar sind.

Sodann zeige, dass die Summe zweier Diagonal-, Dreiecks- oder symmetrischer Matrizen wieder eine solche ist.

Die Folgerung sollte einfach sein.

Für die Eigenschaft Invertierbarkeit könnte man ein einfaches Gegenbeispiel suchen, dass also aus der Invertierbarkeit von nicht die von folgt.
eni2208 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank schon mal smile A ist diagonalisierbar/trigonalisierbar/invertierbar habe ich jetzt hinbekommen, aber das mit dem symmetrisch und vertauscht mit allen matrizen bekomme ich noch nicht so ganz hin...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst ja erst mal nachweisen, dass das Produkt von zwei symmetrischen Matrizen genau dann auch symmetrisch ist, wenn die Matrizen vertauschen. Dies geht einfach, indem du die Transponierte von betrachtest. Da mit sich selber vertauscht, muss also auch symmetrisch sein und als Summe von symmetrischen Matrizen ebenfalls.

Zur Vererbung der Vertauschbarkeit:
Wenn eine Matrix mit allen anderen vertauschbar ist, also , dann kann man leicht zeigen, dass auch gilt . Ebenso, wenn man eine zweite Matrix hat, die mit allen vertauscht, dann vertauscht die Summe ebenfalls, also . Aus beiden Tatsachen zusammen folgt die Vertauschbarkeit .
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