p-SylowUntergruppen der Prüfergruppe

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Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »
p-SylowUntergruppen der Prüfergruppe
Hallo allerseits,

ich möchte gerne zeigen, dass die p-adischen Zahlen als additive Untergruppen der Prüfergruppen genau die p-Sylowuntergruppen sind. Leider habe ich in meinem ersten "Beweis" einen Fehler entdeckt und nur noch bis Mittwoch nachmittag Zeit, um diesen zu korrigieren, ohne dass ich auf einen grünen Zweig käme.

Bereits gezeigt:

Sei nun beliebig, es gilt zu zeigen, dass nicht teilt. Hierzu beobachtet man, dass die Gruppe nach Sylowsatz für endliche Gruppen und dem Korrespondenzsatz für Untergruppen einer Quotientengruppe eine p-Sylowuntergruppe von der Form hat. Durch weiteres Anwenden von Isomorphiesätzen, etc bekomme ich heraus:
wird nicht von p geteilt und für irgendein .

Ich möchte nun gerne zeigen, dass der Restindex auch nicht von p geteilt, also quasi, dass m = 0 sein muss. Meiner Meinung nach, muss ich hierbei irgendwie einfließen lassen, dass die p-adischen Zahlen projektiver Limes von den entsprechenden p-Gruppen sind. Leider sehe ich nicht wie, kann mir bitte jemand helfen?

Beste Grüße,

Fara
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du verwirrst mich etwas:
Du sprichst von Prüfergruppe https://en.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%BCfer_group
schreibst aber immer Zett-Dach, das man auch gern Prüfer-Ring nennt.

Willst du die additive Gruppe von Zett-Dach betrachten?

In welchen Sinne ist
Zitat:
zu verstehen? Das die p-adischen Zahlen unendlich sind? Was soll p hoch unendlich aussagen?

Ohne jetzt groß länger drüber nachgedacht zu haben, folgt die Aussage nicht direkt aus der Isomorphie
?
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von watcher
Hallo,

du verwirrst mich etwas:
Du sprichst von Prüfergruppe https://en.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%BCfer_group
schreibst aber immer Zett-Dach, das man auch gern Prüfer-Ring nennt.[/latex]

Hallo,
tut mir Leid, dich verwirrt zu haben. Für mein Beispiel ist nicht relevant, dass die hier betrachteten Objekte eine Ringstruktur tragen, ich interessiere mich im Moment nur für die additiven Gruppen. Kurz: Ich betrachte nur die additive Untergruppe des Prüferring.

Zitat:
n welchen Sinne ist
Zitat:
zu verstehen? Das die p-adischen Zahlen unendlich sind? Was soll p hoch unendlich aussagen?

Das ist im Sinner supernatürlicher (bzw. Steinitzzahlen) gemeint. Das ist ein Zahlbegriff, der es in pro-endlichen Gruppen ermöglicht, Teilertheorie für Gruppen unendlicher Kardinalität oder unendlichen Indexes durchzuführen:
vgl. http://en.wikipedia.org/wiki/Supernatural_numbers

Zitat:
Ohne jetzt groß länger drüber nachgedacht zu haben, folgt die Aussage nicht direkt aus der Isomorphie
?


Weiß ich nicht. Zunächst habe ich diese Zerlegung nicht, kann die aber sicherlich dazunehmen. Wie würde das dann deiner Meinung nach direkt folgen?
Also was sichert mir, dass die Projektion von Q auf eine der Komponenten nur verschwindenen Anteil hat?

Beste Grüße,

Fara
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mit der Def. von p-Sylovgruppen über Steinitzzahlen nicht vertraut.
Ist es aber nicht so, dass die p-Sylovgruppen grade die maximalen pro-p Gruppen sind?

Und ist die maximale (pro)-p Gruppe in , was aus folgen dürfte.

Zu :
, da Limes und Produkt sich vertragen.
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, da steckt doch einiges an Theorie drin, die wir im Seminar bislang nicht gemacht haben.

Ich denke, ich werde deinen Ansatz verfolgen (und also erstmal zeigen, dass die besagte Isomorphie gilt) und dann müßte ein offener Normalteiler (jaja. der Prüferring ist abelsch) ja durch die einzelnen Komponenten faktorisieren, was mir die Aussage liefern sollte.

Besten Dank,

Fara
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