Vergleich zwischen exponentiellem und linearem Wachstum |
| 10.05.2013, 18:10 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Vergleich zwischen exponentiellem und linearem Wachstum Ich habe die Aufgabe anhand eines Beispieles, welche ich sowohl mit der linearen als auch mit der exponentiellen Wachstumsmodell berechnen soll, beide Formen zu Vergleichen und sowohl Ähnlichkeiten als auch Unterschiede zeigen und auch deren Stärken und Schwächen hervorheben.
a. Wie schätze ich dies für die genannten Zeiträume? b. Was sind die Nachteile der jeweiligen Methoden? c. Wie zeichne ich den Graphen dazu? d. Was sind die Ähnlichkeiten und was sind ihre Nachteile. Ich fange mit a an und werde erst nach beantworten dieser weiter fortfahren. a. Im linearen Modell ist dies sehr einfach. Für jeden x-Wert steigt der y-Wert um eine bestimmten Bereich. Diesen Bereich gibt mir k wieder, wenn ich k habe, lässt es sich leicht damit schätzen. ------------------------------------------ 2. Gleichungen mit zwei Variablen. Ich setze die erste Gleichung d = 631 410 in die zweite Gleichung und berechne dies. Nun lässt sich jedes Jahr beliebig im kopf berechnen. Schwieriger wird es im exponentiellen Modell. Hier suche ich a um den jährlichen Wachstumsrate zu erhalten, womit ein Berechnen im kopf auch möglich wird. Schätzen wäre hier wohl nicht möglich gewesen. Wenn alles passt gehe ich auf b. über. lg |
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| 11.05.2013, 06:26 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
habs jetzt nicht nachgerechnet, aber vom rechenweg her stimmt alles was du bisher gemacht hast |
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| 11.05.2013, 17:25 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hi, 
d.
linear 1x Schnittp. mit der x- Achse - welche auch die Nullstelle der Geraden darstellt. Nach oben und nach unten offen. k gibt die Steigung an, d - Schnittp. auf der y-Achse. Alles unter der x-Achse ist negativ, alles darüber ist positiv. Die Gerade ist unendlich - kontinuum. Da k-stetig ist, gibt sie eine porportion wieder. Entweder stetig steigend oder stetig fallend. Es ist daher Realitätsfern. Es geht nur nach oben oder nach unten, alles andere ist nich möglich. Das bedeutet, äußere Einflüsse lassen sich nicht darstellen. - Realitätsfern. Es gibt weder ein Ende nach unten noch nach oben - Realitätsfern. exponentiell Nach oben unbegrenzt, nach unten begrenzt. 
Ist realitätsnah weil es einen kontinulierlichen (Prozen) Wachstum. Ähnliche Nachteile wie das Lineare Modell. Äußere Einflüsse lassen sich nicht abbilden. Es existieren keine negativen werte. Es ist nach oben offen.(Nicht begrenzt). Ich glaube, hier habe ich besonders Schwächen. Die Liste ist auf jeden Fall unvollständig. Wie schaffe ich es in einer Testsituation alle Infos mir zu merken. Was muss ich verstehen? |
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| 12.05.2013, 18:18 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soll ich es vielleicht nochmal formatieren? Eine Liste machen mit zwei Seiten oder dergleichen. Ich habe die Info erhalten, dass es wohl etwas ungenau formuliert ist. lg |
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| 13.05.2013, 15:24 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Niemand eine Idee? |
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| 13.05.2013, 16:52 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast die vor-und nachteile meiner meinung nach schon gut zusammengefasst. Das hauptaugenmal ist prinzipiell, dass ein lineares wachstum unrealistisch ist und ein exponentielles wachstum besser passt. dass es keine negativen werte gibt würde ich nicht als nachteil sehen (es gibt ja auch keine negative bevölkerung!) |
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| 13.05.2013, 18:49 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hi, Also hätte ich es auch als Vorteil bei dem exponentiellem Wachtum anführen kann. Wichtig wäre jetzt das Vergleichen der beiden Methoden? Was ist an ihnen Ähnlich? Was ist verschieden? Ähnlich: Sie sind determiniert durch 2 Angaben. Sie lassen keinen äußeren Einfluss zu. Sie sind nach oben offen. Was ist verschieden? Lineares Wachstum wächst linear, also pro x-Wert um einen bestimmten Betrag y.(k gibt die Steigung an). Während exponentielles Wachstum pro x-Wert einen bestimmten prozentuellen Wachstum anwächst.(a). Ist meine Liste richtig? Geht es weiter? Anführen könnte man noch, dass wenn wir das exponentielle Wachstum logarithmieren, ergibt sich ein lineares Wachstum. lg |
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| 14.05.2013, 09:09 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also hier würde ich auf die anstiege (Ableitungen) der Funktionen eingehen, dass der anstieg bei der linearen funktion konstant ist, wohingegen er sich bei der exponentiellen funktion ja ständig ändert. Richtig ist deine Liste aufjedenfall. Ob sie vollständig ist, bezüglich der ansprüche deines lehrers, wird wohl nur er dir beantworten können. |
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| 14.05.2013, 10:08 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich also die Ableitung einer lin. Funktion bilde, erhalte ich k. Wenn ich hingegen die Ableitung von einer exponentiellen Funktion bilde, erhalte ich a. Jetzt verstehe ich aber nicht, warum sich k nie ändert. (Rechnerisch). Was könnte man dieser Liste noch hinzufügen? Was fehlt offensichtlich? Was wäre gut noch zu erwähnen? |
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| 14.05.2013, 12:27 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bei einer linearen funktion ist der anstieg an jeder stelle gleich. Wenn du die exponentielle funktion ableitest, dann erhältst du nicht einfach nur a! Die ableitung selber hängt auch von t ab, ist somit zu jedem zeitpunkt unterschiedlich |
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| 14.05.2013, 13:00 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, so müsste es aussehen, Probleme hätte ich noch damit, dies zu begründen, obwohl du es mir gerade begründet hast. (Ich arbeite daran es zu verstehen). |
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| 14.05.2013, 13:37 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die zweite ableitung ist falsch. Du solltest in jedem Tafelwerk die Ableitung von funktionen der form finden |
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| 14.05.2013, 16:30 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So müsste es nun richtig sien. Wie gebe ich dies schriftlich nun wieder. Bei der Linearen: Nach Ableiten sieht man dass nur k die Steigung und somit den Wachstumg der linearen Geraden angibt. Exponentiell: Nachdem Ableiten ist ersichtlich, das sowohl t als auch a zusammen den Anstieg der Geraden(Funktion ist hier wohl besser) angeben und dass diese sich laufend ändert, es entsteht quasi eine kurve. |
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| 14.05.2013, 18:55 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die ableitung ist immernoch falsch. wenn du nach a ableiten würdest wäre es richtig, du leitest hier aber nach t ab und dies steht im exponenten. Dass sich der Anstieg ständig ändert ist aber richtig und auch der punkt auf den ich hinaus wollte |
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| 14.05.2013, 19:18 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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Es steht im Exponenten? Logarithmieren? Im linearen Modell leite ich ja auch nach der Steigung (k) ab. Warum also hier auf t? |
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| 14.05.2013, 19:25 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
im linearen model leitest du nicht nach k ab, sondern auch nach t. nach den ableitungsregeln fällt das t weg und der faktor k bleibt alleine übrig. Guck mal hier, das drittletzte sollte deiner form entsprechen |
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| 14.05.2013, 19:46 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
[quote]Original von Tipso
Hängt also vom Logarithmus von der Zeit ab. |
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| 14.05.2013, 20:18 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es müsste richtig sein, die ableitung hängt somit ebenfalls exponentiell von der zeit ab |
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| 14.05.2013, 20:23 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich kann jetzt relativ wenig damit anfangen. ln(a) konstant - a ist es auch - Zeit ändert sich. Die Frage würde ich also mit: "exponentiell von a abhängig", beantworten. |
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| 15.05.2013, 12:51 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie dubereits gesagt hast ist a konstant, es kann somit nicht von a abhängen. und da die zeit hier im exponenten steht, hängt es folglich exponentiell von der zeit ab |
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| 15.05.2013, 13:01 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
expenentielle Steigung hängt von der Zeit ab, es ist eine prozentueller Wachstum pro Jahr. (Der Wachstum ist also auch konstant). lg |
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| 15.05.2013, 15:01 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das prozentuale wachstum ist konstant, das absolute dahingegen nicht. Beim linearen Modell ist es genau umgedreht. Ich glaub jetzt haben wirs, haben wohl etwas aneinander vorbeigeredet 
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| 15.05.2013, 16:00 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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Ich bin noch mehr verwirrt. Heute ist dabei der letzte Tag. Morgen geht die Post bei mir ab. 
Das absolute nicht? |
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| 15.05.2013, 21:27 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun verstehe ich auch nicht warum wir in linearen Modell nach t abgeleitet haben? Es gab in der Gleichung überhaupt nur x, k und d. Linear - konstanter Wachstum Exponentiell - konstantes a aber das Wachstum ist unkonstant
Was ist genau umgekehrt und warum? Zwischen linearem und exponentiellem Wachstum? Vielleicht an einem Beispiel, wäre sehr nett .. lg |
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| 16.05.2013, 10:10 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die lineare Funktion hing natürlich auch von der zeit ab, du hast es in diesem fall nur x genannt es müsste aber auch t heißen. Die Gleichung wäre eigentlich y(t)=k*t+d Bei der linearen Funktion nimmt in jedem zeitintervall die population in gleichem maße zu. das heißt, der anstieg ist konstant. Bei der exponentiellen Funktion nimmt die population aber zu verschiedenen Zeitpunkten verschieden stark zu. Das heißt der anstieg ist nicht konstant. Es gibt einen unterschied zwischen absoluten wachstum und prozentualen, ist dir dieser unterschied bewusst? |
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| 16.05.2013, 10:22 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
leider nicht.
Von ln(a) und a. könnte ich dies als Argument einfach so hinschreiben? Es hängt auch vom ln(a) und a ab nicht nur vom t - siehe lineare Gleichung. |
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| 16.05.2013, 10:34 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
klar hängt das von a und ln(a) ab, da a aber eine konstante ist ist das eher unrelevant denke ich. Sagen wir du hast 10 euro startkapital. Lineares wachstum wäre jetzt du bekommst jedes jahr 2 Euro dazu. 2 wäre dann dein k in diesem fall. So hättest du nach einem jahr 12 euro, nach 2 jahren 14 euro usw. Jetzt nehmen wir an, du bekommst auf deine 10 euro jedes jahr 20% Zinsen. Dann hättest du nach einem Jahr 12 Euro, das heißt dein Kapital ist um 2€ angestiegen. Nach dem 2. Jahr hast du nun aber 14,4€ Kapital, d.h. dein kapital hat sich nun absolut um 2,4€ erhöht. |
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| 16.05.2013, 10:44 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es liegt also nur an ln(a) und t im linearen Modell nur an t.
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| 16.05.2013, 18:55 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, Ist es richtig wenn ich sage, linearer Wachstum findet proportional zu y-Werten statt und exponentieller prozentual zu y-Werten? lg |
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| 21.05.2013, 06:11 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
weiß nicht so recht, eigentlich stimmt die aussage zum linearen wachstum so nicht. lineares wachstum findet eher unabhängig von den y-werten statt, da es ja immer gleich ist. beim exponentiellen wachstum könnte man das glaube schon so sagen |
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| 21.05.2013, 11:57 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
proportional an sich hat wohl in der mathematik nicht verloren. Es stimmt aber, da einem x-Wert ein y-Wert proportional zugeordnet wird. Das k bleibt ja gleich. lg |
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| 21.05.2013, 13:43 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja so gesehen ist es auch richtig. wenn du von linearem wachstum schreibst klingt es aber so als würdest von einem anstieg sprechen, dieser ist aber konstant. Wenn man also richtig hinschaut stimmt deine aussage von dem vorherigen post also doch, ist nur auf den ersten blick etwas verwirrend. |
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| 21.05.2013, 18:48 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
super danke. |
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