Lage von Ebenen und Gerade

10.05.2013, 21:47

Shahin852

Lage von Ebenen und Gerade

Guten Abend, Liebe Community

Ich habe die Aufgabe:

"Berechne die Koordinaten eines Punkts G, derart, dass die Gerade $\begin{eqnarray*} g_{FG} \end{eqnarray*}$ parallel zur Ebene $\begin{eqnarray*} E_{ABC} \end{eqnarray*}$ verläuft. Es gibt mehrere Lösungen für G. Wo liegen alle diese mögliche Punkte."

Ich habe es mal gemacht. Ich hoffe, so ist es richtig.
Nur bleibt mir die Frage, wo liegen diese Punkte G, ich habe gedacht auf der Ebene, aber bei meinen Versuch, ging es schief.

Vielleicht habt ihr ein Tipp parat, würde mich freuen Freude

Auf den Bild ist mein Versuch zu sehen. Ich hoffe, dass macht niemanden was aus, ein klick zu machen Augenzwinkern

[attach]30006[/attach]

Sry vergessen der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} = \vec{n} \end{eqnarray*}$ von der Ebene $\begin{eqnarray*} E_{ABC} \end{eqnarray*}$
Vielen Dank für eure Hilfe.

mfg
Shahin852

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Wer's vergrößert sehen will, darf klicken. Augenzwinkern

10.05.2013, 23:08

opi

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In Deinem Aufschrieb geht es drunter und drüber. smile

Der Richtungsvektor der Geraden stimmt nicht, bei der Berechnung über das Skalarprodukt muß ein Vorzeichen verändert werden. Punkt G ist deshalb ebenso nicht richtig.

Zitat:

Auf den Bild ist mein Versuch zu sehen. Ich hoffe, dass macht niemanden was aus, ein klick zu machen

Oh doch, daß macht es! Eines Tages wird dieses Bild aus der Box verschwunden sein, dann ist die ganze Aufgabe weg und dieser Thread sinnlos. Und nicht jeder mag sich unangekündigt 2,2MB herunterladen. Ich werde das Bild nachher oben einfügen, bitte lade in Zukunft Bilder direkt im Board hoch.

11.05.2013, 12:37

Shahin852

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Guten morgen,

Tut mir leid, dass es etwas unstrukturiert ist.

Ich habe es nun verbessert.

Ich habe den $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} -7 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gebildet und das Skalarprodukt aus den Richtungsvektor der Geraden $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ entwickelt.

Also:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

Dies ist die Bedingung, dass die Gerade und die Ebene Parallel sind
NUn habe ich geguckt, welche Koordinaten ich den $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ geben kann, damit diese Bedingung erfülllt ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$

Und der Richtungsvektor der Geraden ist der Differenzvektor der beiden Punkte einer Geraden also

Punkt F (2/0/2)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist

G = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun bleibt mir die Frage, wo liegen alle diesen mögliche Punkte G ?

Vielen Dank

mfg
Shahin

12.05.2013, 10:00

Shahin852

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Also keiner weiß, wo der Punkt G, liegt ?

Oder bzw. könnte mir ein Tipp geben, damit ich selbst rausfinde?

12.05.2013, 10:30

riwe

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wie wäre es mit folgender idee:
nenne G(x,y,z) und bilde nun das entsprechende skalarprdoukt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-2\\ y \\ z-2 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

woraus man nun ableiten könnte, wo alle punkte G (und natürlich F) liegen Augenzwinkern

12.05.2013, 11:08

Shahin852

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Okay, danke für deine Antwort

Aus

folgt

$\begin{eqnarray*} 7x+4y+5z-24=0 \end{eqnarray*}$

Ich wollte fragen, kann man $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der ursprünglich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ war.

Zu den von dir vorgeschlagenden $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ machen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus
$\begin{eqnarray*} 7x+4y+5z-24=0 \end{eqnarray*}$ , sieht man das es nach einer Koordinatenform ausschaut. Ich habe mal diese mit der Ebene Koordinatenform von $\begin{eqnarray*} E_{ABC} \end{eqnarray*}$ verglichen und habe entdeckt, dass anstatt -24 am Ende -25 da steht

Also $\begin{eqnarray*} 7x+4y+5z-25=0 \end{eqnarray*}$

Ich dachte, nun bevor ich den letzten Schritt gemacht habe, das die Punkte auf der Ebene liegen, aber dies ist ja nicht der Fall, da der letzte Wert nicht übereinstimmt oder?

Die Ebene in PArameterform nochmal angegeben, damit du eventuell selbst nochmal drauf gucken kannst

$\begin{eqnarray*} E_{ABC} : \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -5\\ 5\\ 3\end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 7\\ -6\\ -5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Antwort riwe smile

12.05.2013, 11:14

riwe

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da es nur auf die richtung des/ eines normalenvektors ankommt, kann man die komponenten beliebig vereinfachen, hier also mit -1 multplizieren.

in anlehnung an ein berühmtes zitat aus dem lateinischen:

wärest du nur bei der 1. (ersten) gleichung geblieben!

(das soll bedeuten: die 24 ist korrekt und auch der schluß daraus, so er gezogen wird, wobei dabei noch zu präzisieren wäre)

12.05.2013, 11:22

Shahin852

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Okay, vielen Dank

Schönes Zitat Freude

Aber ich habe, es nicht richtig verstanden, da wenn ich z.B. Punkt F in $\begin{eqnarray*} E_{ABC} \end{eqnarray*}$ einsetze kommt ja nicht Null raus, das bedeutet der Punkt liegt nicht auf der Ebene

12.05.2013, 12:09

riwe

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F liegt wie G in einer ANDEREN ebene.
also ganz langsam:

$\begin{eqnarray*} E :\quad{ }7x+4y+5z=24 \end{eqnarray*}$ beschreibt eine bestimmte ebene.

nun setze F ein und z.b. "deinen" punkt G bzw. irgendeinen anderen punkt G´ dieser ebene E und untersuche den vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{FG}^\prime \end{eqnarray*}$

was folgt daraus verwirrt

welche lage haben die beiden ebenen zueinander verwirrt

12.05.2013, 12:09

Shahin852

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Achso jetzt habe ich es glaube verstanden.

Die Punkte G und F liegen auf einer Ebene, die parallel zur Ebene $\begin{eqnarray*} E_{ABC} \end{eqnarray*}$ liegt.

12.05.2013, 13:04

riwe

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12.05.2013, 15:53

Shahin852

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Dankeschön!!!! smile

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