Integralformel von Cauchy und Potenzreihenentwicklung

10.05.2013, 22:49

Skolja

Integralformel von Cauchy und Potenzreihenentwicklung

Hallo ihr Lieben,
neue Woche neue Aufgaben Augenzwinkern

Und wieder mal bräuchte ich eure Hilfe...
So zu 1)

Meine Überlegung:
Das Elfeck wird ja quasi von dem Einheitskreis eingeschlossen.
Wenn ich mir jetzt ein Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ nehme, die den Einheitskreis und das Elfeck umfasst, so ist die geschlossen und es gilt ja laut Satz von Cauchy:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz = 0 \end{eqnarray*}$

und der Einheitskreis $\begin{eqnarray*} = \gamma_1 \end{eqnarray*}$ sowie das Elfeck $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ ,
so dass $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_1} = -\int_{\gamma_2} \end{eqnarray*}$

So wenn ich den Einheitskreis nehme dann hab ich ja ( da $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_1} f(z) dz = \int_{|z - z_0|=1 } \frac{g(z)}{z-z_0} dz \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} g(z) = e^{sin (z)+cos(iz)} (z-z_0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

So dann ist ja die Cauchy-formel:

$\begin{eqnarray*} \int_{|z - z_0|= r} \frac{f(z)}{z-z_0} dz =2 \pi i f(z_0) \end{eqnarray*}$

Somit kriege ich ja

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_1} f(z) dz = \int_{|z-z_0|=r} \frac{g(z)}{z-z_0} dz =g(z_0) =2 \pi i f(z_0) (z_0-z_0) = 0 \end{eqnarray*}$

Damit wäre ja dann mein Integral über das Elfeck auch Null richtig verwirrt

So da hätte ich mal ne wahrscheinlich sehr doofe Frage: Könnte ich das nicht alleine auf Grund der Tatsache, dass das Elfeck eine geschlossenen Kurve und f(z) holomorph ist, darauf schließen dass das Integral Null sein muss?
Weil das ist doch die Aussage von dem Integralsatz von Cauchy oder verwirrt

So zu 2.)
Für die Entwicklung in einer Potenzreihe gilt:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} c_n =\frac{1}{2\pi i} \int_{|z-z_0| \le r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \end{eqnarray*}$

So wenn ich das jetzt versuch wie oben zu lösen dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi i} \int_{|z-z_0| \le r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z-z_0| \le r}\frac{g(z)}{(z-z_0)}dz = g(z_0) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} g(z) = \frac{f(z)}{(z-z_0)^n} \end{eqnarray*}$ und dann hab ich ja das Problem dass ich durch Null teilen müsste verwirrt

Im Tutorium hatten wir in diesem Fall dann benutzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi i} \int_{|z-z_0| \le r} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n}}dz = f^{(n)}(z_0) \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ die n-te Ableitung ist.

so also wäre meine Potenzreihe dann doch :

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(z_0) (z-z_0)^n \end{eqnarray*}$

So kann ich die $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ jetzt noch irgendwie präziser ausdrükcken verwirrt

und wie bestimme ich daraus den Konvergenzradius?

11.05.2013, 09:03

Che Netzer

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