vereinfachtes Newtonverfahren zweidimensionale Funktion

11.05.2013, 11:57	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
vereinfachtes Newtonverfahren zweidimensionale Funktion Meine Frage: Gegeben ist die Funnktion $\begin{eqnarray} f: R^{2}-> R^{2}.<br /> <br /> f(x)=\begin{pmatrix} f_{x_1} \\ f_{x_2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (x_1)^2+(x_2)^2 \\ (x_1)^2+3x_2\end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Aufgabe ist nun, jeweils zwei Schritte des a) vereinfachten Newton-Verfahrens b) Newton-Verfahrens für den Startwer x0=(1,1) durchzuführen. Meine Ideen:* Es gilt ja: $\begin{eqnarray} <br /> x_(n+1)=x_n-J(x_n)^{-1}f(x_n)<br /> \end{eqnarray}$ Ist das das vereinfachte ? Ich habe hierzu die Jakobi-Matrix ausgerechnet: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> J(x_n)=\begin{pmatrix} 1x_1 & 2x_2 \\ 2x_1 & 3 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Stimmt die? Ich hätte jetzt die Inverse der Jakobimatrix ausgerechnet und dann in die Formel eingesetzt um dann den Startwert einzusetzen. Stimmt das? Wenn ja, ist mein Problem, dass ich an der Inversenberechnung scheiter. Also irgendwie kommt bei mir da nichts raus.
11.05.2013, 12:09	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vereinfachtes Newtonverfahren zweidimensionale Funktion Deine Jacobi-Matrix stimmt nicht. Überprüfe den Term $\begin{eqnarray} J_{11} \end{eqnarray}$
11.05.2013, 12:15	Ebbe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vereinfachtes Newtonverfahren zweidimensionale Funktion ahh da steht natürlich 2*x1...hab mich vertippt. aber ich bekomme die inverse nicht hin
11.05.2013, 12:40	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vereinfachtes Newtonverfahren zweidimensionale Funktion Da die Einheitsmatrix so aussieht: $\begin{eqnarray} E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ betrachte zunächst das LGS $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2x_1%20&%202x_2%20\\%202x_1%20&%203%20%20\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a& b \\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wähle auf der rechten Seite nur die erste Spalte, um a und c zu ermitteln und danach nur die zweite Spalte, um b und d zu ermitteln. Es gibt noch andere Methoden, z.B. http://maschinenbau-student.de/inversematrixgauss.php und ähnliche Internetseiten.

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