Abzählbarkeit (Mengen)

12.05.2013, 02:56

Amplitude

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Abzählbarkeit (Mengen)

Ich soll untersuchen ob folgende Mengen abzählbar sind:

1) $\begin{eqnarray*} Z^{4}=Z\times Z\times Z\times Z \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \times \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} Z_{5} der Restklassen modulo 5 \end{eqnarray*}$

Mit Z sind die ganzen Zahlen gemeint.

Die Axiome für die Abzählbarkeit von Mengen lauten wie folgt:

Eine Menge X heißt abzählbar genau dann, wenn

X ist endlich, oder
X ist gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen N (Bijektiv)

Ist eine Menge abzählbar, können wir alle ihre Elemente mit einem Index versehen.

Jetzt interessieren mich verschiedene Dinge.

1. Wie geh ich an so einer Aufgabe ran? - Wahrscheinlich soll ich einfach die zwei Axiome überprüfen, wobei wir bei Frage 2 angekommen sind ....
2. Ich verstehe die Axiome nicht. Ich weiss zwar, was Bijektivität ist. Das jedoch nur auf Funktionen. Hier ist doch gar keine Abbildung definiert oder um die Bijektivität nachzuweisen? Und was bedeutet endlich? Die natürlichen Zahlen N sind unendlich. Die Menge 1 und 2 aus N sind endlich? Ist das korrekt?
3. Was bedeutet das Kreuz zwischen den Mengen? Ist das eine Verknüpung ? Oder handelt es sich dort um ein Malzeichen?

So, das wär es erst einmal. Ich hoffe ihr könnt mir wirklich helfen. Ich wäre euch sehr dankbar, da ihrmir bereits sehr oft helfen konntet.

12.05.2013, 07:42

nondatur

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Okay fangen wir mal stück für stück an smile

smile

Das zweite Axiom hast du missgedeutet, eine Menge ist abzählbar wenn sie endlich ist oder eine Bijektion zwischen ihr und den natürlichen Zahlen existiert( auf deutsch du die Elemente also durchnumerieren kannst), wie diese Bijektion aussieht ist egal.

Endlich ist eine Menge genau dann wenn ihre Mächtigkeit kleiner ist als unendlich, man kann auch einfach sagen : wenn sie weniger als unendlich viele Elemente enthält. die Teilmenge der natürlichen Zahlen die nur 1 und 2 enthält ist endlich.

Ich vermute dein Dozent meint mit dem Kreuz das kartesische Produkt( Schau dir mal den Wikipediaartikel an damit du eine Grundlegende Idee bekommst, aber wie immer nicht alles da kritiklos glauben)

Zum Herangehen an die Aufgabe müsstest du uns vielleicht erstmal verraten was du mit Z meinst( ganze Zahlen, oder ist das eine andere Menge?) und mit den Intervallen [0,1] x [0,1]. Sind das reelle Intervalle oder Intervalle auf den ganzen Zahlen?

12.05.2013, 12:51

Amplitude

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Ja mit Z sind die ganzen Zahlen gemeint. Außerdem hab mir jetzt angeschaut was das kartesische Produkt darstellen soll. Weiterhin beschreibt bei [0,1]kreuz[0,1] die einzelnen Intervalle das abgeschlossene Intervall, wobei x aus den reellen Zahlen stammt (Steht so in meinem Skript - also [a,b] mit x aus R/ a kleiner gleich x kleiner gleich b).

Ich bin jetzt aber etwas irritiert bezüglich der Abzählbarkeit, denn nach der Definition ist eine Menge Abzählbar wenn sie endlich ist oder gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen N ist (Bijektiv). Das mit der bijektion verstehe ich jetzt nicht so richtig. Die bijektion sagt ja aus, das zu jedem Wert nur exakt ein Wert zugeordnet wird. Ist das korrekt?

Und bedeutet das denn jetzt nicht, dass alle Mengen bijektiv sind? Ich bin nun wirklich etwas verwirrt.

12.05.2013, 15:35

Amplitude

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Niemand eine Idee? Ich verstehe das nicht wirklich und bin wirklich auf Hilfe angewiesen.

12.05.2013, 15:53

Captain Kirk

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Zitat:

Und bedeutet das denn jetzt nicht, dass alle Mengen bijektiv sind?

Mengen können nicht bijektiv sein. Bijektivität ist eine Eigenschaft von Abbildungen.

Bei der 1) würde ich eine Bijektion nach $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ angeben (analog z.B. zu Hilbert's Hotel)
2) Da müsste man sinnvoll wissen was ihr schon zum Thema gezeigt habt.
3) Sollte offensichtlich sein wenn man die Def. des restklassenrings kennt.

12.05.2013, 16:10

Amplitude

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Also, die leichteste Definition zur Abzählbarkeit, die ich gefunden habe, lautet:

"Eine Menge heißt abzählbar, wenn ihre Elemente ''durchnumeriert'' werden können, d.h. wenn man jedem Element genau eine natürliche Zahl als ''Platznummer'' geben kann."

Aber gilt das nicht für alles? Ich kann doch alles durchnummerieren. Kann mir jemand ein leichtverständliches Gegenbeispiel nennen ?

lg

Edit: Ah, stimmt. Ist zweimal dasselbe Element gegeben dann kan man ihr nicht eine einzige natürliche Zahl zuordnen so wie es im Punkt 2 zutrifft. Also wäre 2 zb. nicht bijektiv und somit auch nicht abszählbar korrekt?

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12.05.2013, 16:21

Captain Kirk

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Zitat:

"Eine Menge heißt abzählbar, wenn ihre Elemente ''durchnumeriert'' werden können, d.h. wenn man jedem Element genau eine natürliche Zahl als ''Platznummer'' geben kann."

Das ist eine Veranschaulichung keine Definition. Leicht zu erkennen an den vielen Gänsefüßchen.
nondatur hat bereits die Definition genannt.

Zitat:

Ich kann doch alles durchnummerieren. Kann mir jemand ein leichtverständliches Gegenbeispiel nennen ?

Die reellen Zahlen.

Zitat:

Edit: Ah, stimmt. Ist zweimal dasselbe Element gegeben dann kan man ihr nicht eine einzige natürliche Zahl zuordnen so wie es im Punkt 2 zutrifft. Also wäre 2 zb. nicht bijektiv und somit auch nicht abszählbar korrekt?

MENGEN KÖNNEN NICHT BIJEKTIV SEIN, NUR ABBILDUNGEN KÖNNEN DAS.
(Großschreibung ist Absicht.)

12.05.2013, 16:25

Amplitude

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Dann ist es korrekt, dass ich mir einfach eine Abbildung von meiner Menge in die Natürlichen Zahlen vorstelle, ist diese bijektiv und lässt sich somit ,,durchnummerieren", so handelt es sich um eine abzählbare Menge.

Ist das nun korrekt?

12.05.2013, 16:30

Captain Kirk

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Ja, auch wenn es sprachlich noch holprig ist, ist es korrekt.

12.05.2013, 17:06

Che Netzer

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Zitat:

Original von Amplitude
Edit: Ah, stimmt. Ist zweimal dasselbe Element gegeben dann kan man ihr nicht eine einzige natürliche Zahl zuordnen so wie es im Punkt 2 zutrifft. Also wäre 2 zb. nicht bijektiv und somit auch nicht abszählbar korrekt?

Es ist aber
$\begin{eqnarray*} \{x,x\}=\{x\}\,. \end{eqnarray*}$
Die Idee ist also falsch.

12.05.2013, 17:19

Amplitude

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Danke für den Hinweis ,,Che Netzer". Was wäre denn ein einfaches Beispiel für eine nicht abzählbare Menge (Außer das Beispiel mit den reellen Zahlen)?

mfg^^

12.05.2013, 18:40

watcher

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Die vermutlich einfachste überabzählbare Menge ist $\begin{eqnarray*} \mathcal P (\mathbb N) \end{eqnarray*}$ , die Potenzmenge der natürlichen Zahlen.

12.05.2013, 21:41

Amplitude

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Ich bin jetzt vollkommen verwirrt und weiss wirklich nicht was ich sagen soll. Ich weiss was eine Bijektion ist. Kann jedoch nicht entscheiden was nicht abzählbar ist, denn man kann doch allem eine natürliche Zahl als Nummernbeschreibung ,,anhängen".

Weiss jemand wie ich das verstehen kann? Ich komm wirklich nicht alleine drauf. Ich möchte gar keine Lösungen haben. Ich möchte es nur verstehen können.

13.05.2013, 17:18

watcher

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Arbeite mit der exakten Def. nicht mit der (hier wohl falschen) Veranschaulichung.

Eine Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen findet sich z.B. hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zw...iagonalargument
oder hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_er...lbarkeitsbeweis

Gib bei der a) eine Bijektion nach $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ an. Überlege dir warum das genügt. Eine Idee für die Bijektion dürfte Hilbert's Hotel liefern: Die erste Ladung in die Zimmernummer mit Rest 0 modulo 4, die Zweite in die mit Rest 1 modulo 4 usw.

b) Zeige: Eine abzählbar unendliche Vereinigung von endlichen Mengen ist wieder endlich.
(oder finde es im Skript). Nutze dies für einen Widerspruchsbeweis, da ja die reellen Zahlen überabzählbar sind.
Oder ahme den Beweis im zweiten Link oben nach.

c) Im Vergleich zum Rest ist die Aufgabe banal. Definition anschauen und schon stehts da.

14.05.2013, 01:21

Amplitude

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Im prinzip muss die vorgegebene Menge mithilfe der ganzen Zahlen durchnummeriert werden und jeder Wert darf nur eine zugehörige Natürliche Zahl ,,zunummeriert" bekommen. Jetzt interessiert mich, ob man diese ,,durchnummerierung" der Natürlichen Zahlen bis ins unendliche betrachten muss. Deshalb stellt sich mir die Frage ob M={2,3,4,5} abzählbar ist. Anscheinend nicht da ihnen nur 4 Natürliche Zahlen (1,2,3,4) zugeordnet werden können. Deshalb ist diese nicht abzählbar. Ist das richtig?

Außerdem interessiert mich, weshalb die Rationalen Zahlen abzählbar sind? Es findet doch eigentlich keine 1 zu 1 Abbildung statt (Bijektion), da z.b. die 2 unendlich-mal vorkommt (2/2,4/2,8/4,12/3......).

Hoffe ihr könnt mir helfen. Immerhin kann ich endlich mit dem Begriff mehr oder weniger etwas anfangen. Danke euch!

14.05.2013, 21:58

Amplitude

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Niemand eine Idee?

14.05.2013, 22:26

watcher

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Zitat:

Außerdem interessiert mich, weshalb die Rationalen Zahlen abzählbar sind? Es findet doch eigentlich keine 1 zu 1 Abbildung statt (Bijektion), da z.b. die 2 unendlich-mal vorkommt (2/2,4/2,8/4,12/3......).

Hast du meine Links oben aufmersam durchgelesen?
Dann müsstest du die Antwort auf deine Frage selber geben können.
Und nur weil du etwas nicht findest heißt es noch lange nicht, dass dieses etwas nicht existiert.

Zitat:

Im prinzip muss die vorgegebene Menge mithilfe der ganzen Zahlen durchnummeriert werden und jeder Wert darf nur eine zugehörige Natürliche Zahl ,,zunummeriert" bekommen. Jetzt interessiert mich, ob man diese ,,durchnummerierung" der Natürlichen Zahlen bis ins unendliche betrachten muss. Deshalb stellt sich mir die Frage ob M={2,3,4,5} abzählbar ist. Anscheinend nicht da ihnen nur 4 Natürliche Zahlen (1,2,3,4) zugeordnet werden können. Deshalb ist diese nicht abzählbar. Ist das richtig?

Arbeite mit der Definition, nicht mit irgendeiner Veranschaulichung davon.
Nach eurer Definition sind endliche Mengen nicht abzählbar.

14.05.2013, 22:30

Theend9219

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Die ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb {Z} \end{eqnarray*}$ sind abzählbar unendlich.
Das kartesische Produkt abzählbarer unendl. Mengen ist nach Cantors ebenfalls abzählbar.

Es gilt :
$\begin{eqnarray*} |\mathbb{Z}^{4}| = |\mathbb{Z}|^{4} \end{eqnarray*}$

14.05.2013, 22:44

Amplitude

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Ich habe mir alles durchgelesen und bin etwas irritiert bezüglich dem Begriff der Endlichkeit. Eine Endliche Mnge ist eine Menge mit endlich vielen Elementen wie z.B. M={1,2,3,4,5}. Nach der Definition der abzählbaren Menge ist die endlichkeit abzählbar. Doch warum? Ich denke die Abbildung der Menge muss bijektiv sein in die Natürlichen Zahlen, aber das gilt doch nur für die ersten 5 Zahlen?

Außerdem habe ich mir Gedanken über folgendem abgeschlossem Intervall gemacht:
$\begin{eqnarray*} [0,1]\times [0,1] \end{eqnarray*}$
Diese Menge muss doch definitiv überabzählbar sein (nicht abzählbar), da Mengen vorhanden sind wie z.B. (0,0),(0,1) ... Die Null kommt zweimal vor, doch laut Definition darf jedem Element einer Menge nur eine Natürliche Zahl zugeordnet werden.

Ich schau mir nochmal die Erklärung von Cantors an!

14.05.2013, 22:53

watcher

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Zitat:

Nach der Definition der abzählbaren Menge ist die endlichkeit abzählbar

Woher hast du das?
Nach eurer Definition sind, wie ich bereits geschrieben habe, endliche Mengen nicht abzählbar.

Zitat:

die Abbildung der Menge

Was soll das sein?

Zitat:

da Mengen vorhanden sind wie z.B. (0,0),(0,1) ...

Das sind keine Mengen (zumindest nicht in der naiven Mengenlehre), das sind Tupel.
Mengenklammern sind die geschweiften.

Zitat:

Die Null kommt zweimal vor,

Welche Null? Wo?

Zitat:

doch laut Definition darf jedem Element einer Menge nur eine Natürliche Zahl zugeordnet werden.

Ja und? Hier steht nirgendwo irgendetwas das auch nur annähernd eine Zuordnung wäre.

Zitat:

Ich schau mir nochmal die Erklärung von Cantors an!

Der Name ist Cantor. Und was theend wohl meinte ist das erste Diagonalargument von Cantor.

14.05.2013, 23:00

Amplitude

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Folgendes stand auf Wikipedia: ,,Zu den höchstens abzählbaren Mengen zählen neben den abzählbar unendlichen auch kleinere, also endliche Mengen M"

Mit der Abbildung meine ich die Abbildung r: M -> N (Natürliche Zahlen)

Bezüglich der Tupeln. Geht das aber nicht auf das selbe hinaus, da ja das Kartesische Produkt aus [0,1]kreuz[0,1] geordnete Paare entstehen, die dieselben Elemente mehr oder weniger besitzen. Zum Beispiel kommt das Element 0 in mehreren Paaren vor. Oder iste s möglich ein ganzes Paar einer nartürlichen Zahl zuzuordnen ?

14.05.2013, 23:05

watcher

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Zitat:

Folgendes stand auf Wikipedia: ,,Zu den höchstens abzählbaren Mengen zählen neben den abzählbar unendlichen auch kleinere, also endliche Mengen M"

Lerne genau zu lesen.
Da steht höchstens abzählbar nicht abzählbar.

Zitat:

Mit der Abbildung meine ich die Abbildung r: M -> N (Natürliche Zahlen)

Das ist keine Abbildung. Es fehlt die Abbildungsvorschrift.

Zitat:

Bezüglich der Tupeln. Geht das aber nicht auf das selbe hinaus, da ja das Kartesische Produkt aus [0,1]kreuz[0,1] geordnete Paare entstehen, die dieselben Elemente mehr oder weniger besitzen. Zum Beispiel kommt das Element 0 in mehreren Paaren vor. Oder iste s möglich ein ganzes Paar einer nartürlichen Zahl zuzuordnen ?

Ich habe keinerlei Ahnung was du damit ausdrücken willst.
Du verwendest auch wieder andauernd schwammige Begriff.
Was heißt hier "mehr oder weniger"? Was ist ein "ganzes Paar"?
In der Mathematik gaht es um Exaktheit.

15.05.2013, 06:47

Theend9219

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Ja das meinte ich

15.05.2013, 10:37

RavenOnJ

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Um die Verwirrung über den Begriff "abzählbar" noch etwas zu verschärfen, noch ein Zitat von wikipedia: " Die Verwendung des Begriffes abzählbar ist nicht einheitlich. Er kann je nach Definition sowohl abzählbar unendlich als auch höchstens abzählbar bedeuten."

Im Klartext: Manche/Viele benutzen diesen Begriff auch um endliche Mengen zu charakterisieren. Man sollte sich also nicht zu sehr auf eine bestimmte Bedeutung versteifen. Ich bin Anhänger der zweiten Bedeutung, also "höchstens abzählbar" und "abzählbar" synonym zu benutzen. Will man dann differenzieren kann man immer noch "endlich" oder "abzählbar unendlich" verwenden.

15.05.2013, 11:27

Amplitude

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Also, in unserem Skript steht folgendes wichtiges dazu (Tutor hatte die Vorlesung geleitet, da der Prof. nicht da war):

Eine Menge A heißt abzählbar <->
(a) A ist endlich d.h. #{A} $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (<->#{A}<Unendlich)
oder
(b) A ist unendlich, #{A}=Unendlich, und A ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Ist A nicht abzählbar, so heißt A überabzählbar.

Lemma: Seien A eine abzählbare Menge und B Teilmenge von A. Dann ist B abzählbar. (Meine Frage: Gilt das auch für endliche Teilmengen?)

Satz1.4. $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist abzählbar. Das bedeutet dann etwa auch das [0,1]kreuz[0,1] abzählbar sein muss.? Da die ganzen Zahlen abzälbar sind, kann man die abzählbarkeit auch auf folgendes leiten:
$\begin{eqnarray*} Z^{4}=Z\times Z\times Z\times Z \end{eqnarray*}$ , wobei Z die ganzen Zahlen sein sollen.

Hier wird das selbe Zählverfahren wie bei Cantor verwendet, wobei jedem Paar eine Natürliche Zahl zugeordnet wird oder? Also es werden nicht die einzelnen Elemente von den Paren betrachtet, sondern das Paar an sich, ob es Doppelt vorkommt oder nicht. Ist das korrekt? Ich habe es aber aufjedenfall jetzt etwas mehr verstanden wenn es richtig ist. Mich irritiert jedoch noch die abzählbarkeit bezüglich der endlichen Menge. Unser Tutor hatte jedoch auch einmal erwähnt (kurz nebenbei), dass Intervalle nicht abzählbar sein. Das würde doch dann auch bedeuten das endliche Mengen nicht abzählbar sind, da ein Intervall endlich ist. Und ist das den kein Widerspruch zu (a) A ist endlich d.h. #{A} $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (<->#{A}<Unendlich)

Weiss jemand auch eventuell was das Route-Zeichen zu bedeuten hat? Ich weiss das #1 als Nummer eins gelesen werden kann, aber denke das es nicht hier der Fall ist.

Edit: [0,1]kreuz[0,1] darf eigentlich nicht abzählbar sein, da nicht jeder Natürlichen Zahl, ein Paar zugeordnet werden kann.

PS: Ja, ich gehe noch nicht super mit den Begriffen bezüglich der Abzählbarkeit um und muss mir das unbedingt noch mehr aneignen. Aber erst einmal muss ich jetzt wissen, ob ich es mehr oder weniger verstanden habe.

Edit2: [0,1]kreuz[0,1] sind die Elemnte hier dezimal Zahlen, also 0,1 in diesem Beispiel? Daran habe ich bisher noch gar nicht gedacht, da ich ganze Zeit dachte, dass es sich um folgendes handelt:

[0,1]kreuz[0,1]={(0,0) ; (0,1) ; (1,0) ; (1,1)}

15.05.2013, 13:52

RavenOnJ

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Mir scheint, es gibt bei dir eine große Begriffsverwirrung.

Zitat:

Original von Amplitude
Also, in unserem Skript steht folgendes wichtiges dazu (Tutor hatte die Vorlesung geleitet, da der Prof. nicht da war):

Eine Menge A heißt abzählbar <->
(a) A ist endlich d.h. #{A} $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (<->#{A}<Unendlich)
oder
(b) A ist unendlich, #{A}=Unendlich, und A ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Ist A nicht abzählbar, so heißt A überabzählbar.

Lemma: Seien A eine abzählbare Menge und B Teilmenge von A. Dann ist B abzählbar. (Meine Frage: Gilt das auch für endliche Teilmengen?)

Dann benutzt ihr "abzählbar" im Sinne von "höchstens abzählbar", d.h. endlich oder abzählbar unendlich. Meines Wissens ist das auch der übliche Sprachgebrauch. Natürlich gilt das Lemma auch für endliche Teilmengen, das sollte dir jetzt eigentlich klar sein aus der Definition.

Zitat:

Satz1.4. $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist abzählbar. Das bedeutet dann etwa auch, dass $\begin{eqnarray*} [0,1]\times[0,1] \end{eqnarray*}$ abzählbar sein muss.?

Hier stellt sich mir die Frage, was du mit $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ meinst: Soll dies das abgeschlossene Intervall zwischen 0 und 1 einschließlich sein, das wäre die übliche Bezeichnung. Dies ist aber keine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Deswegen nährt sich in mir der Verdacht, dass du eigentlich $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ meinst, die Menge aus den Zahlen 0 und 1. $\begin{eqnarray*} [0,1]\times[0,1] \end{eqnarray*}$ im üblichen Sinne ist überabzählbar, da auch das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist. Dies kann man mit dem Cantorschen Diagonalverfahren beweisen. $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ ist natürlich endlich und damit abzählbar.

Zitat:

Da die ganzen Zahlen abzählbar sind, kann man die abzählbarkeit auch auf folgendes leiten:
$\begin{eqnarray*} Z^{4}=Z\times Z\times Z\times Z \end{eqnarray*}$ , wobei Z die ganzen Zahlen sein sollen.

Hier wird das selbe Zählverfahren wie bei Cantor verwendet, wobei jedem Paar eine Natürliche Zahl zugeordnet wird oder? Also es werden nicht die einzelnen Elemente von den Paren betrachtet, sondern das Paar an sich, ob es Doppelt vorkommt oder nicht. Ist das korrekt?

Ich sehe hier keine Paare, nur Quadrupel. Wie du Paare konstruierst, müsstest du näher ausführen. Ich behaupte nicht, dass das nicht geht, aber ohne nähere Angaben von dir nehme ich erst mal an, dass du nur eine vage Ahnung davon hast.

Zitat:

Mich irritiert jedoch noch die abzählbarkeit bezüglich der endlichen Menge. Unser Tutor hatte jedoch auch einmal erwähnt (kurz nebenbei), dass Intervalle nicht abzählbar sein. Das würde doch dann auch bedeuten das endliche Mengen nicht abzählbar sind, da ein Intervall endlich ist. Und ist das den kein Widerspruch zu (a) A ist endlich d.h. $\begin{eqnarray*} \char35{A} \in \mathbb N \Rightarrow \char35{A}<\infty \end{eqnarray*}$

Was du hier mit "endlich" in Bezug auf ein Intervall bezeichnest, muss eigentlich "beschränkt" heißen. Intervalle sind nicht endlich, da sie als Menge keine endliche Mächtigkeit haben. Ihre Mächtigkeit ist überabzählbar (s.o.).

Zitat:

Weiss jemand auch eventuell was das Route-Zeichen zu bedeuten hat? Ich weiss das #1 als Nummer eins gelesen werden kann, aber denke das es nicht hier der Fall ist.

$\begin{eqnarray*} \char35A, A \text{ Menge} \end{eqnarray*}$ bedeutet "Mächtigkeit der Menge A", wird oft auch mit $\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Ist die Mächtigkeit endlich, kannst du auch synonym "Anzahl der Elemente" sagen.

Zitat:

Edit: $\begin{eqnarray*} [0,1]\times[0,1] \end{eqnarray*}$ darf eigentlich nicht abzählbar sein, da nicht jeder Natürlichen Zahl, ein Paar zugeordnet werden kann.

Sollen das jetzt Intervalle sein? Dann könntest du höchstens sagen, dass es von Paaren aus $\begin{eqnarray*} [0,1]\times[0,1] \end{eqnarray*}$ keine bijektive oder injektive Abbildung auf die natürlichen Zahlen gibt.

Zitat:

Edit2: $\begin{eqnarray*} [0,1]\times[0,1] \end{eqnarray*}$ sind die Elemnte hier dezimal Zahlen, also 0,1 in diesem Beispiel? Daran habe ich bisher noch gar nicht gedacht, da ich ganze Zeit dachte, dass es sich um folgendes handelt:

[0,1]kreuz[0,1]={(0,0) ; (0,1) ; (1,0) ; (1,1)}

Eben nicht, du verwechselst da was (s.o.). Es ist

$\begin{eqnarray*} \{0,1\}\times\{0,1\}=\{(0,0) , (0,1) ,(1,0) , (1,1)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [0,1]\times[0,1] \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Paare

$\begin{eqnarray*} [0,1]\times[0,1] = \{(x,y) \in\mathbb R^2|0\le x\le 1\land 0\le y\le 1\} \end{eqnarray*}$

one last edit: dank airblader Wink

Wink

, weiß ich jetzt, wie am matheboard das # in Latex zu setzen ist. \# funktioniert ja leider nicht.

15.05.2013, 13:56

Amplitude

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mache mir noch einmal Gedanken über die Definition. Möchte jedoch vorweg sagen , dass es sich laut Skript bei [a,b] um ein abgeschlossenem Intervall handelt.

Edit: Das bedeutet wenn ich nun die Menge M={3,5,9) habe, ist diese abzählbar, da sie eine Teilmenge von den Natürlichen Zahlen ist. Und folglich kann eine endliche Menge abzählbar sein.

15.05.2013, 14:13

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich ist [a,b] ein abgeschlossenes Intervall. Habe ich etwas anderes behauptet?

15.05.2013, 14:23

Amplitude

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich dachte du wolltest wissen ob wir dieselben Zeichen nutzen für ein abgeschlosssenes Intervall. Mein Fehler.

Ist den eigentlich folgende Aussage richtig:

Das bedeutet wenn ich nun die Menge M={3,5,9) habe, ist diese abzählbar, da sie eine Teilmenge von den Natürlichen Zahlen ist. Und folglich kann eine endliche Menge abzählbar sein.

15.05.2013, 14:41

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht so in dem von dir zitierten Lemma, ist aber auch in der Definition von "abzählbar" schon enthalten. Eine endliche Menge ist abzählbar per definitionem. Oder verwechselst du gerade wieder "endlich" und "beschränkt"?

15.05.2013, 15:11

Amplitude

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann sein das ich da etwas verwechsel. M={3,4,5,6,7} ist zum Beispiel endlich da die Menge n Elemente besitzt oder?. Und da die genannten Elemente eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen sind, sollten sie endlich abzählbar sein?^^ Stimmt den das?

Beschränkt sein, kenne ich vom Infimum und dem Supremum. Bis auf die Unendlichen Mengen, sollte eigentlich jede Menge beschränkt sein oder?

15.05.2013, 16:30

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Lies dir doch einfach mal die Definition von "abzählbar" durch, die du selber weiter oben geschrieben hast.

Zitat:

Bis auf die Unendlichen Mengen, sollte eigentlich jede Menge beschränkt sein oder?

Auch unendliche Mengen können beschränkt sein, beispielsweise ein Intervall [a,b]. Beschränktheit hat mit (Un-)Endlichkeit wenig zu tun. Es gibt auch endliche Mengen, für die Begriffe wie beschränkt/unbeschränkt keinen Sinn machen, weil keine Ordnungsrelation oder Abstandsfunktion auf ihnen definiert ist. Also hüte dich vor solchen Aussagen.

15.05.2013, 20:53

Amplitude

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand die Lösungen mit ihrer Begründung nennen, weshalb

1) $\begin{eqnarray*} Z^{4}=Z\times Z\times Z\times Z \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \times \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} Z_{5} der Restklassen modulo 5 \end{eqnarray*}$

abzählbare Mengen sind oder nicht. Ich soll das morgen abgeben. Deshalb will ich ersteinmal nur die Lösung haben. Dieser Thread wird weiterbehandelt, damit ich das auch endlich Mal verstehen kann.^^

Edit: Cantor hatte bewiesen das alle Z(Ganze Zahlen)^n abzählbar sind, so bleiben nur noch 2 und drei.

15.05.2013, 21:00

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist hier länger angemeldet als ich und hast noch nicht bemerkt, das es hier keine Musterlösungen gibt?
Warum überrascht mich das nicht?

Es haben hier mehrere Leute dir verschiedene Lösungsansätze gegeben auf die du alle nicht eingegangen bist, weil du dich nicht mit den grundlegendensten Definitionen auskennst.
Da finde ich diese Anfrage einfach nur dreist.

15.05.2013, 21:35

Amplitude

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte gar nicht über mein Verhalten diskutieren.

Ich habe jeden Post gelesen und habe alles aufgenommen was ich verstanden habe. Ich habe nachgeforst und mir verschiedene Quellen angeschaut. Auf die Frage ob M={1,2,3,4] abzählbar ist hat bisher immer noch niemand geantwortet. Ich habe laut Defintion gelesen, dass eine Teilmenge abzählbar ist, wenn jeder Natürlichen Zahl eine Zahl/ein Paar der vorgegebenen Menge zugeordnet werden kann. Außerdem habe ich gelesen das endliche Mengen abzählbar sind. Was ist nun richtig? M={1,2,3,4] ist endlich, da 4 Elemente vorhanden sind. Ist das nun abzählbar nach der Definition, dass endliche Mengen abzählbar sind, oder ist M überabzählbar, da mir Wikipedia sagt, das zu jeder Natürlichen Zahl eine Zahl zugeordnet werden muss.

16.05.2013, 07:11

ollie3

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hallo,
ich misch mich hier mal ein.
Also, die menge {1,2,3,4} ist selbstverständlich abzählbar, genauso wie jede
andere menge mit endlich vielen elementen.
Und es gibt grundsätzlich nur 3 möglichkeiten: entweder eine menge hat nur
endlich viele elemente, dann ist sie sowieso abzählbar, oder abzählbar unendlich
(wie z.B. N oder Q), oder sie ist überabzählbar (wie z.B. R).
Alles weitere erkläre ich dir gern.
gruss ollie3

16.05.2013, 07:44

Che Netzer

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Um das nochmals anzumerken:
Manche Autoren unterscheiden zwischen "endlich" und "abzählbar" (also abzählbar unendlich).
Überabzählbar ist $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ in keinem Fall.

16.05.2013, 10:54

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Che Netzer
Um das nochmals anzumerken:
Manche Autoren unterscheiden zwischen "endlich" und "abzählbar" (also abzählbar unendlich).

Und was ist der übliche Sprachgebrauch? Ich habe den Eindruck, dass es wenige sind, die "abzählbar" synonym für "abzählbar unendlich" gebrauchen.

16.05.2013, 19:38

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

So kommt es mir auch eher vor; es ist aber schwer zu sagen, da viele auf nummer sicher gehen wollen und "höchstens abzählbar" schreiben, auch wenn ihnen eigentlich schon "abzählbar" genügen würde.

Eine wirklich übliche Regelung gibt es aber nicht.

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