zweidimensionale suffiziente Statistik

12.05.2013, 15:56

Lisl93

zweidimensionale suffiziente Statistik

Meine Frage:
Gegeben seien unabhängige identisch verteilte Beobachtungen $\begin{eqnarray*} X_{1},...,X_{n} \end{eqnarray*}$ mit der Lebesgue Dichte
$\begin{eqnarray*} f_{a,b}(x)=\frac{1}{b} exp(-\frac{x-a}{b} )*1(x), x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit dem unbekannten Parameter $\begin{eqnarray*} \theta=(a,b)\in \mathbb R \times (0,\infty ) \end{eqnarray*}$ , wobei 1(x) die Indikatorfunktion darstellt. Finden Sie eine suffiziente Statistik für (a,b), die in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ abbildet.

Meine Ideen:
Brauche dringend Hilfe für diese Aufgabe, da ich leider keinen Ansatz habe. Danke euch schon mal smile

12.05.2013, 17:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lisl93
wobei 1(x) die Indikatorfunktion darstellt.

"Die" Indikatorfunktion? Welche??? Forum Kloppe

Wenn da stattdessen $\begin{eqnarray*} 1_{[a,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$ stehen würde, dann macht die ganze Sache überhaupt erstmal Sinn!

12.05.2013, 19:03

Lisl93

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Hallo Hal,

ja genau die ist auch gemeint, sorry, das war mein Fehler. Kannst du mir helfen?

12.05.2013, 19:20

HAL 9000

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Du hast sicher von der Neyman-Charakterisierung suffizienter Statistiken $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gehört, d.h. dass es im vorliegenden Fall dann Funktionen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_{a,b} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} L(a,b,x) = \prod_{i=1}^n f_{a,b}(x_i) \stackrel{!}{=} h(x)\cdot g_{a,b}(T(x)) \end{eqnarray*}$

gibt, wobei $\begin{eqnarray*} x=(x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ der Vektor der Stichprobenwerte sein möge.

Versuch doch mal hier, ein solches $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ (und natürlich auch zugehörig $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_{a,b} \end{eqnarray*}$ ) zu finden, indem du die vorliegende Likelihoodfunktion

$\begin{eqnarray*} L(a,b,x) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{b} \exp\left( -\frac{x_i-a}{b} \right) \cdot 1_{[a,\infty)}(x_i) \right) \end{eqnarray*}$

passend vereinfachst: Zum einen durch Zusammenfassen der Exponentialterme gemäß Potenzgesetzen, zum anderen durch Zusammenführung dieser Indikatorfunktionsterme.

12.05.2013, 20:04

Lisl93

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Also gut die Neymann Charakterisierung hab ich soweit verstanden und den Ansatz dabei auch. Dann hab ich mal die Potenzgesetze angewandt und bin dabei auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} L(a,b,x)=\prod\limits_{i=1}^n (\frac{exp(\frac{a}{b})}{b*exp(\frac{x_{i}}{b})}*1_{[a,\infty )}(x_{i})) <br /> = \frac{exp(\frac{a}{b} )}{b}*\prod\limits_{i=1}^n \frac{1}{exp(\frac{x_{i}}{b}) } *1_{[a,\infty )}(x_{i}) \end{eqnarray*}$

allerdings glaube ich, dass du mich auf etwas anderes bringen wolltest oder? Tut mir Leid, wenn ich mich grad bisschen dumm anstelle

12.05.2013, 21:03

HAL 9000

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In der Tat, ich hatte letztendlich an

$\begin{eqnarray*} L(a,b,x) = \frac{1}{b^n} \exp\left( -\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i - na}{b} \right) \cdot 1_{[a,\infty)} \left( \min\limits_{i=1,\ldots,n} x_i \right) \end{eqnarray*}$

gedacht. Drüber nachdenken, dass das stimmt, und was das dann in Hinblick auf die Aufgabenstellung bedeutet.

12.05.2013, 21:34

Lisl93

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Okay, also ich glaub jetzt weiß ich's:

durch diese Zerlegung haben wir einmal ein h(x) mit $\begin{eqnarray*} h(x):=1_{[a,\infty)}(\min\limits_{i=1,..,n} x_{i}) \end{eqnarray*}$
und wir haben unser $\begin{eqnarray*} g_{a,b}(T(x)):=\frac{1}{b^n}exp(-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i}-na }{b} ) \end{eqnarray*}$

somit ist die Neymann Charakterisierung erfüllt und nachgewiesen, dass die Statistik $\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{i=1}^n x_{i}-na \end{eqnarray*}$ suffizient ist.

Ist das so richtig?

13.05.2013, 00:41

HAL 9000

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Nein: $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ darf nur von $\begin{eqnarray*} x=(x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ abhängen, aber nicht von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder [/l]b[/l].

$\begin{eqnarray*} 1_{[a,\infty)}(\min\limits_{i=1,..,n} x_{i}) \end{eqnarray*}$ ist aber offensichtlich von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängig. unglücklich

Zitat:

Original von Lisl93
$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{i=1}^n x_{i}-na \end{eqnarray*}$

Der nächste Unfug: Die Teststatistik $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ hängt ebenfalls nicht von den unbekannten Parametern $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ab. Herrje, ein wenig solltest du dich aber schon in das Thema reindenken, das sind Patzer der allergröbsten Art. unglücklich

P.S.: Die suffiziente Statistik muss nicht notwendig eindimensional sein - denk hier mal eher an zweidimensional (d.h. Vektor mit zwei Komponenten).

EDIT: Erst jetzt sehe ich, dass das "zweidimensional" ja bereits in der Überschrift steht. Augenzwinkern

30.05.2013, 11:21

Sendoh

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Da der Thread schon seit längerem brachliegt und ich mich gerade selber mit dem Thema beschäftige, würde ich gerne die Aufgabe weiter bearbeiten.

Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{eqnarray*} L(a,b,x) = \frac{1}{b^n} \exp\left( -\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i - na}{b} \right) \cdot 1_{[a,\infty)} \left( \min\limits_{i=1,\ldots,n} x_i \right) \end{eqnarray*}$

Man kann den Term weiter zerlegen in

$\begin{eqnarray*} L(a,b,x)=\frac{1}{b^n}\exp\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{-b}\right)\exp(-na)1_{[a,\infty)}\left(\min_{i=1,..,n}x_i\right), \end{eqnarray*}$

sodass a und b "getrennt" voneinander sind. Weiter kann man zB $\begin{eqnarray*} \overline{x}:=\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_i}{n} \end{eqnarray*}$ definieren. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} L(a,b,x)=\frac{1}{b^n}\exp\left(\frac{n\overline{x}}{-b}\right)\exp(-na)1_{[a,\infty)}\left(\min_{i=1,..,n}x_i\right) \end{eqnarray*}$

Es ist nun leicht ersichtlich, dass $\begin{eqnarray*} T(X_1,...,X_n)=(\min_{i=1,...,n}x_i,\overline{x}) \end{eqnarray*}$ eine suffiziente Statistik für $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ist.

Ich würde mich über eine Bestätigung/Korrektur freuen.

30.05.2013, 11:37

HAL 9000

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Nicht ganz richtig - statt $\begin{eqnarray*} \exp(-na) \end{eqnarray*}$ müsste bei deiner Zerlegung $\begin{eqnarray*} \exp\left( \frac{na}{b} \right) \end{eqnarray*}$ stehen, aber zumindest stimmt die suffiziente Statistik. Freude

Im Sinne von

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} L(a,b,x) = \prod_{i=1}^n f_{a,b}(x_i) \stackrel{!}{=} h(x)\cdot g_{a,b}(T(x)) \end{eqnarray*}$

kann man mit deinem $\begin{eqnarray*} T(x) = \left( \min\limits_{i=1,\ldots,n}x_i,\bar{x} \right) \end{eqnarray*}$ nämlich einfach

$\begin{eqnarray*} h(x) &=& 1 \\ g_{a,b}(t_1,t_2) &=& \frac{1}{b^n}\exp\left( -\frac{n}{b}(t_2-a) \right) \cdot 1_{[a,\infty)} (t_1) \end{eqnarray*}$

wählen und hat die oben angegebene Neyman-Charakterisierung erfüllt.

30.05.2013, 12:02

Sendoh

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Stimmt, da war ich wohl zu schnell am Werke.
Danke sehr Augenzwinkern

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